Corpos elásticos em relatividade geral

Tese de Mestrado em Matemática e Aplicações à MecânicaNo século XVII, com a lei de Hooke, desenvolve-se a Teoria Clássica da Elasticidade. A adaptação de uma teoria da elasticidade à Relatividade Geral surge bastante mais tarde, no final de 1950, com a necessidade de generalizar o estudo de corpos elásticos à Mecânica Relativista para que se compreendesse o comportamento das ondas gravitacionais quando interagem com corpos elásticos sólidos. O objectivo deste trabalho é apresentar um estudo bibliográfico sobre a formulação da Elasticidade em Relatividade Geral, descrevendo a teoria matematicamente, de forma detalhada e simples, e exemplificá-la com alguns exemplos físicos. No capítulo 1, será apresentada a Teoria da Relatividade Geral, a partir da Mecânica Clássica e da Teoria da Relatividade Restrita, bem como alguns conceitos subjacentes, sendo de destacar a álgebra e cálculo de tensores, atendendo a que as equações da Relatividade são equações tensoriais. A base dos capítulos 2 e 3 é o artigo Elastic stars in general relativity: I. Foundations and equilibrium models, de Max Karlovini e Lars Samuelson. No capítulo 2, introduzem-se os conceitos gerais da teoria, baseados no facto de se considerar o campo material como uma projecção de uma variedade do tipo espaço-tempo de dimensão quatro numa variedade tridimensional. Como resultados obter-se-ão a forma geral do tensor de impulsão-energia e a sua especificação, no caso de uma métrica fixa ser o único campo tensorial material usado para obter a equação de estado. Apresentar-se-ão, ainda, as equações de movimento de matéria elástica, pelo que se introduzirá uma conexão considerada como o pull back da conexão de Levi-Civita associada à métrica do espaço material. Esta conexão é dada pelo tensor diferença da relasticidade que, juntamente com o tensor elasticidade de Hadamard, permitirão reescrever as equações de Euler. No capítulo 3, serão apresentadas as equações de Einstein numa aplicação a espaços-tempo com simetria esférica com matéria elástica. O sistema de equações do movimento será constituído por três equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. A solução deste sistema é um espaço-tempo com simetria esférica associado a um campo com características elásticas.In the XVII century, with Hooke’s law, there is a development of the Classic Theory of Elasticity. The adaptation of an elasticity theory to General Relativity appears much later, in the end of 1950, with the necessity of the generalization of the study of elastic bodies to Relativistic Mechanics, to understand the behaviour of gravitational waves when interacting with solid elastic bodies. The aim of this work is to present a bibliographic study about the formulation of Elasticity in General Relativity, describing mathematically the theory, in a detailed and simple way, and exemplifying with some physical examples. In chapter 1, it will be introduced the General Relativity Theory, from Classical Mechanics and Special Relativity, and some subjacent concepts, in particular tensor algebra and calculus, since the Relativity equations are tensorial equations. The basis of chapters 2 e 3 is the article Elastic stars in general relativity: I. Foundations and equilibrium models, from Max Karlovini and Lars Samuelson. In chapter 2, general concepts of the theory will be introduced, based on the foundation that the matter field is a mapping from the four-dimensional spacetime manifold to an abstract three-dimensional manifold. The result will be the general form of the stress-energy tensor and its specialization to the case when a fixed metric is the only material space tensor field which is used to set up the equation of state. Also the matter equations of motion will be discussed and, to this end, there will be introduced a spatially projected connection on spacetime which can be viewed as the pull back of the Levi-Civita connection associated with the material space metric. This projected connection is given by the relativistic elasticity difference tensor that with the relativistic Hadamard elasticity tensor allow to rewrite the Euler equations. In chapter 3, the Einstein’s equations for static spherically symmetric configurations with an elastic matter source will be discussed. The full set of equations of motion is found to form a system of three first-order ordinary differential equations. The solution of this system is a spacetime with spherically symmetry associated to a field with elastic characteristics