Analyse numérique des options américaines dans un modèle de diffusion avec sauts

ThesisLe but principal de cette thèse est de traiter l'évaluation des options américaines dans un modèle de diffusion avec sauts et de développer les méthodes numériques permettant de calculer des prix. Elle comprend d'abord une présentation de ce modèle et des discussions des formules de prix. Puis une formule quasi-explicite d'évaluation du prix dans le cas où l'échéance est infinie (i.e.: "put perpétuel") est établie. Le chapitre 3 et le chapitre 4 présentent un méthode de calcul du prix du put américain fondé sur les inéquations variationnelles (I.V.). Nous montrons que le prix de l'option américaine coïncide avec la solution d'une I.V. Nous nous intéressons aux problèmes de l'existence, de l'unicité et des propriétés de régularité de la solution de l'I.V. nous étudions ensuite l'approximation de la solution de l'I.V. En localisant le problème, nous nous ramenons à une I.V. définie dans un intervalle borné de R, qui est ensuite discrétisée par la méthode des différences finies. Dans un cadre général, R. Glowinsky, J.L. Lions er R. Trémolières ont étudié les schémas de discrétisation des inéquations variationnelles et montré des théorèmes de convergence sous une hypothèse de coercivité assez forte. Cette hypothèse n'est pas vérifiée dans notre problème et le principal résultat de ce chapitre est un théorème de convergence forte, qui semble nouveau, même dans le cas d'un modèle sans sauts. Dans le chapitre 5, nous proposons des formules approchées quasi-explicites s'inspirant de travaux sur le modèle de Black-Scholes. Dans un premier temps, nous généralisons la méthode de Mac Willan, puis nous donnons une formule exprimant le prix du put américain à l'aide du prix critique. Enfin, le dernier chapitre présente les courbes de volatibilité, les algorithmes de résolution du problème discrétisé, l'implémentation des méthodes d'approximation et des résultats numériques