Contribution à la modélisation numérique en électromagnétisme statique stochastique

In electromagnetism, for most numerical models (so-called deterministic models) solving Maxwell Equations, all input data are supposed to be perfectly known. Unfortunately, geometry and material characteristics would rather present uncertainties (aging...). The problem is then how to broadcast the uncertainties of the entry data to the output data. In those conditions, probabilistic models would be more appropriated to take into account those uncertainties than a deterministic model. Methods have been already proposed mainly in mechanics, but few in electromagnetism. First, the Monte Carlo Simulation Method (MCSM) is simple and robust, but is very time consuming. Besides, other methods have been proposed. The “perturbation method” consists in expanding the unknown field around its mean. This method is very useful to determine the moment of the first and second orders (mean and variance) of the unknown field. But the extension to moments of higher orders is very difficult and time consuming. In Neumann Expansion Method operators are expanding into Neumann series but the convergence rate seems to be weak. Finally, methods based upon chaos polynomial expansions such as the so-called Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM) has been proposed by Ghanem or non intrusive projection methods have been proposed. It is used to solve spatial differential equation's problem, by using a discretization simultaneous onto spatial domain and random domain. This method has been already applied mainly in mechanics. In this thesis, we present the Monte Carlo Simulations, Non intrusive projection method, and SSFEM to solve a electrokinetics problem where the conductivies are supposed to be piece wise random variable. Those two lasts, are based upon Hermite chaos polynomials expansion, this family of polynomial will be presented. The conductivities can be expanded in Hermite Polynomials; we will study the effect of the truncate. Finally, we will propose method to compute global values as the current, and we will use this method to calculate the current in an industrial case: a line joint. Keywords: numerical electromagnetism, random, uncertainty quantification, polynomial chaos, stochastic finite element method, projection non intrusive method, global quantities computation.En électromagnétisme, dans la plupart des modèles numériques, déterministes, résolvant les équations de Maxwell, toutes les données d'entrée sont supposées parfaitement connues. Cependant la géométrie et les caractéristiques des matériaux peuvent présenter des incertitudes (vieillissement...). Nous cherchons alors à propager les incertitudes des données d'entrée vers les paramètres de sorties. Un modèle numérique probabiliste paraît alors plus adapté qu'un modèle numérique déterministe. Un certain nombre de méthodes ont été proposé en génie mécanique, très peu en électromagnétisme. La méthode de simulation de Monte Carlo est simple et robuste mais coûteuse en temps de calcul. On trouve aussi la méthode de perturbation où le champ inconnu est développé en série de Taylor autour de sa moyenne. Cette méthode permet de calculer la moyenne et la variance du champ de sortie assez simplement, mais pour les moments d'ordre supérieur, la généralisation semble complexe et coûteuse en temps de calcul. La méthode de développement en série de Neumann consiste à développer l'opérateur en série, mais la convergence semble lente. Il existe aussi des méthodes basées sur des développements des paramètres de sorties dans le chaos polynomial de Hermite. Ces méthodes sont basées sur une discrétisation de la dimension spatiale et de la dimension aléatoire. Ces méthodes peuvent être séparées en deux familles. La première, introduite par R.G. Ghanem, est dite intrusive car elle nécessite des modifications profondes du code éléments finis, elle est appelée Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM) et elle peut être vue comme une généralisation de la méthode de Galerkin, la seconde est dite non intrusive car le code éléments finis n'est vu que comme une boite noire. Dans la thèse, nous présenterons la méthode de Monte Carlo, et nous étudierons la SSFEM et une classe particulière de méthode non intrusive : la méthode de projection sur le chaos polynomial de Hermite dans le cas de l'électrocinétique où les conductivités seront supposées être des variables aléatoires par morceaux. Dans ce cadre les conductivités peuvent être développées en polynômes de Hermite, nous étudierons l'effet de la troncature sur les résultats. Finalement, une méthode pour calculer des grandeurs globales, comme le courant sera présentée et utilisée pour l'étude d'un cas industriel : un manchon de câble électrique à haute tension. Mots-clés: électromagnétisme numérique, quantification des incertitudes, chaos polynomial, éléments finis stochastiques, méthode non intrusive de projection, calcul de grandeur globale