Actions infinitésimales dans la correspondance de Langlands locale p-adique

The topic of this thesis is the p-adic Langlands correspondence, imagined by Breuil and established by Colmez for GL_2(Q_p). Let L be a finite extension of Q_p and let V be an irreducible, two-dimensional L-representation of the absolute Galois group of Q_p. Using Fontaine's theory of (phi,Gamma)-modules, Colmez associates to V a GL_2(Q_p)-Banach space representation Pi(V), which is unitary, admissible and topologically irreducible. We give a new proof, much easier, of a theorem of Colmez, which describes the locally analytic vectors Pi(V)^an of Pi(V) in terms of the overconvergent (phi,Gamma)-module attached to V. The main result of this thesis is a simple description of the infinitesimal action of GL_2(Q_p) on Pi(V)^an. In particular, we show that Pi(V)^an has an infinitesimal character, which can be computed in terms of the Hodge-Tate weights of V, answering therefore a question of Harris. We show that there is no p-adic analogue of a classical theorem of Saito and Tunnell, answering another question of Harris. We extend results of Colmez concerning the Kirillov model of the U-finite vectors of Pi(V) (U is the upper unipotent of GL_2(Q_p)). Combining this study with the description of the infinitesimal action, we obtain a simple proof of one of the main results of Colmez, characterizing the representations V such that Pi(V) has nonzero locally algebraic vectors. This result is the first step in making the connection with the classical Langlands correspondence, and it is also a key ingredient in Emerton's proof of the Fontaine-Mazur conjecture in dimension two. We extend our methods to prove the analogous result for infinitesimal deformations of V. This answers a question of Paskunas and has applications to the Breuil-Mézard conjecture. We apply differential methods to study the Jacquet module of Pi(V)^an, proving for instance that it is nonzero if and only if V is trianguline and giving a new and direct proof of conjectures of Berger, Breuil and Emerton. Finally, in joint work with Benjamin Schraen we prove Schur's lemma for topologically irreducible Banach and locally analytic representations of p-adic Lie groups. This basic result was previously known only for commutative Lie groups and for GL_2(Q_p).Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la correspondance de Langlands locale $p$-adique, imaginée par Breuil et établie par Colmez pour GL_2(Q_p). Soit L une extension finie de Q_p et soit V une L-représentation irréductible du groupe de Galois absolu de Q_p, de dimension 2. En utilisant la théorie des (phi,Gamma)-modules de Fontaine, Colmez associe à V une GL_2(Q_p)-représentation de Banach Pi(V), unitaire, admissible, topologiquement irréductible. On donne une nouvelle preuve, nettement plus simple, d'un théorème de Colmez, qui permet de décrire les vecteurs localement analytiques Pi(V)^an de Pi(V) en fonction du (phi,\Gamma)-module surconvergent attaché à V. Le résultat principal de cette thèse est une description simple de l'action infinitésimale de GL_2(Q_p) sur Pi(V)^an. En particulier, on montre que Pi(V)^an admet un caractère infinitésimal, que l'on peut calculer en fonction des poids de Hodge-Tate de V, ce qui répond à une question de Harris. En utilisant ces résultats, on montre aussi l'absence d'un analogue p-adique d'un théorème classique de Tunnell et Saito, répondant à une autre question de Harris. Nous étendons et précisons certains résultats de Colmez concernant le modèle de Kirillov des vecteurs U-finis de Pi(V) (U est l'unipotent supérieur de GL_2(Q_p)). En combinant cette étude avec la description de l'action infinitésimale, on obtient une démonstration simple d'un des résultats principaux de Colmez, caractérisant les représentations V telles que Pi(V) possède des vecteurs localement algébriques non nuls. Ce résultat permet de faire le pont avec la correspondance classique et est un des ingrédients clés de la preuve d'Emerton de la conjecture de Fontaine-Mazur en dimension 2. On étend nos méthodes pour démontrer l'analogue de ce résultat pour les déformations infinitésimales de V. Cela répond à une question de Paskunas et a des applications à la conjecture de Breuil-Mézard. Une autre application est l'étude du module de Jacquet de Pi(V)^an. On montre qu'il est non nul si et seulement si V est trianguline, ce qui permet de donner une preuve simple des conjectures de Berger, Breuil et Emerton. Enfin, dans un travail en collaboration avec Benjamin Schraen, nous démontrons le lemme de Schur pour les représentations de Banach et localement analytiques topologiquement irréductibles d'un groupe de Lie p-adique. Ce résultat basique n'était connu que pour des groupes de Lie commutatifs et pour GL_2(Q_p)