Méthodes mathématiques pour l'analyse de la natation à l'échelle microscopique

This thesis is devoted to the mathematical study of the swimming at low Reynolds number. The controllability and the optimal problems associated with the displacement of micro- swimmers are the main points developed in this work. In the first part, we study the controllability and the optimal control problem in time associated with a reduced model of swimmers, called the"N-link swimmer". In the second part, we study the boundary effect on the controllability of particular micro-swimmers made by several balls linked each others by thin jacks. Firstly, we analyze the effect of a plane wall on the mobility of these swimmers. Then, we generalize these results where the wall is rough. We demonstrate that a controllable swimmer remains controllable in a half space delimited by a wall (plane or rough) whereas the reachable set of a non controllable one is increased by the presence of a wall. The last part is devoted to provide a general framework to study optimal controllability of driftless swimmers. We focus on the study of optimal strokes i.e. periodic shape changes. More precisely, we are interested in the existence of optimal strokes, minimizing or maximizing various cost functionals, qualitative properties of the optimal strokes, regularity and monotony of the value functions.Cette thèse de mathématiques appliquées traite de la modélisation des déplacements de nageurs microscopiques. Nous étudions principalement les problèmes de contrôlabilité et d'optimalité associés à la mobilité d'un micro-nageur. Dans une première partie, nous présentons un modèle de nageur simplifié, appelé le"N- link swimmer". Ensuite, nous ́etudions sa contrôlabilité ainsi que l'existence de stratégies lui permettant d'atteindre un point donné le plus vite possible. Dans une deuxième partie, nous analysons les effets de la présence d'un bord sur la mobilité d'un micro-nageur. Nous montrons qu'un nageur qui est contrôlable lorsqu'il évolue dans l'espace non borné, reste "presque partout" localement contrôlable lorsqu'il nage dans un domaine délimité par un mur plat ou rugueux. Au contraire, nous prouvons qu'un nageur qui n'est pas capable d'atteindre toutes les directions lorsqu'il se déplace dans un domaine sans bord peut élargir ses directions accessibles en présence d'un mur (plat ou rugueux). Enfin, la dernière partie de la thèse fournit un cadre à l'étude de problèmes de contrôle optimal associés aux déplacements de nageurs ayant une dynamique sans dérive. Tout d'abord, nous ́etudions les propriétés mathématiques de plusieurs problèmes de contrôle optimal ayant des coûts fonctionnels différents (existence puis comportement). Ensuite, nous considérons les nageurs ayant deux degrés de liberté. Pour ces modèles particuliers de nageurs, nous présentons un cadre permettant d'en déduire des propriétés géométriques locales pour les solutions de certains problèmes de contrôle optimal. Tout au long de ce dernier chapitre, des simulations numériques, réalisées sur un exemple de nageur ayant une dynamique explicite, illustrent les résultats théoriques