Stabilité et instabilité dans les problèmes inverses

In this thesis we focus on stability and instability issues in some classical inverse problems for the Schrödinger equation and the acoustic equation in dimension d>=2. The problems considered are the Gel'fand inverse boundary value problem, the nearfield and the far-field inverse scattering problems. Stability and instability results presented in the thesis complement each other and contribute to a better understanding of the nature of the aforementioned problems. In particular, we prove new global stability estimates which explicitly depend on coefficient regularity and energy. In addition, we consider the inverse boundary value problem for the Schrödinger equation at fixed energy with boundary measurements represented as the impedance boundary map (or Robin-to-Robin map). We prove global stability estimates for determining potential from boundary measurements in this impedance representation. Moreover, similar techniques also give a global reconstruction procedure for this problem.Dans cette thèse nous nous intéressons aux questions de stabilité et d'instabilité dans certains problèmes inverses classiques pour l'équation de Schrödinger et l'équation acoustique en dimension d>=2. Les problèmes considérés sont le problème inverse de Gel'fand de valeurs au bord et les problèmes inverses de diffusion en champ proche et en champ lointain. Les résultats de stabilité et d'instabilité présentés dans cette thèse se complètent mutuellement et contribuent à une meilleure compréhension de la nature des problèmes précités. En particulier, nous démontrons des nouvelles estimations de stabilité globale qui dépendent explicitement de la régularité du coefficient et de l'énergie. En outre, nous considérons le problème inverse de valeurs au bord pour l'équation de Schrödinger à l'énergie fixée avec des mesures frontières représentées comme l'opérateur frontière d'impédance (ou l'opérateur Robin-Robin). Nous démontrons des estimations de stabilité globale pour détermination du potentiel à partir de mesures frontières dans cette représentation d'impédance. De plus, des techniques similaires donnent aussi une procédure de reconstruction globale pour ce problème