Extensions of Cherednik algebras and generalised KZ functors

L'objet de cette thèse est l'étude des représentations de deux algèbres. Il s'agit de deux extensions d'algèbres de Hecke. La première est l'algèbre de Hecke H(W0;W) [GM21] du normalisateur d'un sous groupe de réflexion W0 d'un groupe fini de réflexions complexe W, qui est une extension de l'algèbre de Hecke de W0. La seconde est l'algèbre C(L;W) [Mar18b] qui est un quotient du produit semi-directe de l'algèbre de Möbius du treillis L des sous groupes de réflexions de W par le groupe W et c'est une extension de l'algèbre de Hecke de W. Nous établirons dans ce mémoire deux équivalences de catégories. L'une entre la catégorie des H(W0;W)-modules de dimensions finis et un quotient d'une catégorie O(W0;W) associée à l'algèbre de Cherednik A(W0;W) du normalisateur. Et l'autre entre la catégorie des C(L;W) modules de dimension finis et un quotient d'une catégorie O(L;W) associée à l'algèbre de Cherednik A(L;W) de l'algèbre produit semi-directe de l'algèbre de Möbius du treillis L par le groupe W. Ces équivalences s'établissent en suivant le modèle de celle obtenue dans [GGOR03] par Ginzburg, Guay, Opdamet Rouquier. Plus précisément, nous commençons par définir une algèbre de Cherednik pour l'algèbre de groupe du normalisateur. Puis nous définissons une famille d'opérateurs de Dunkl-Opdam adapté à ce contexte. Nous établissons un plongement de Dunkl, permettant de relier les modules sur l'algèbre de Cherednik du normalisateur avec les modules sur l'algèbre des opérateurs différentielle NW(W0)-équivariant. Nous définissons une catégorie O adapté à ce contexte. Enfin, nous construisons un foncteur KZ et montrons qu'il induit une équivalence de catégories.Nous réalisons par la suite le même travail dans le cas de l'extension par l'algèbre de Möbius du treillis des sous groupes de réflexions. Nous définissons une algèbre de Cherednik adaptée à ce contexte, une nouvelle famille d'opérateurs de Dunkl-Opdam. Nous prouvons un plongement de Dunkl. Nous définissons une nouvelle catégorie O et un foncteur KZ, nous prouvons qu'il induit une équivalence de catégoriesThe main of this thesis is to study the representation theory of two algebras. These algebras are extensions of Hecke's algebras defined by I. Marin. The first one is the Hecke algebra of the normalizer H(W0;W) of the reflection subgroup of a finite complex reflections group [GM21]. It is an extension of the Hecke algebra of the reflection subgroup.The second one is a quotient algebra C(L;W) of the semi-direct product algebra of the Möbius algebra of the lattice of reflection subgroups by a complex reflection group [Mar18b]. It is an extension of the Hecke algebra of a complex reflection group. We establish two equivalences of categories. The first one between the category of finite dimensional modules over the Hecke algebra of a normalizer to a quotient category of a category O associated to Cherednik algebra of a normalizer. Then we establish an equivalence of categories between the category of finite dimensional modules over C(L;W) to a quotient category of a category O associated to a Cherednik algebra of the semi-direct of the Möbius algebra by a complex reflection group. More precisely, we start by defining a Cherednik algebra for the group algebra of the normaliser. Then we define a family of Dunkl-Opdam operators adapted to this context. We establish a Dunkl embedding, allowing to link the modules on the Cherednik algebra of the normaliser with the modules on the algebra of NW(W0)-equivariant differential operators. We define a O-category adapted to this context. Finally, we construct a functor KZ and show that it induces an equivalence of categories. We then carry out the same work in the case of the extension by the Möbius algebra of the lattice of reflection subgroups. We define a Cherednik algebra adapted to this context, a new family of Dunkl-Opdam operators. Furthermore, we prove a Dunkl embedding. We define a new category KZ and a functor KZ, we prove that it induces an equivalence of categorie