Sur de la différentiation numérique à l'aide de polynômes orthogonaux et son application à la détection de défauts et à l'identification de paramètres

La reconstruction de grandeurs non mesurées de systèmes dynamiques se résume souvent à la connaissance de dérivées d'ordres arbitraires mais fini des variables connues du système. L'approximation de ces dérivées à partir de mesures perturbées est néanmoins connu pour être un problème complexe. Toutefois, des algorithmes de différentiation numérique basés sur des polynômes orthogonaux et des séries de Fourier généralisées tronquées peuvent le simplifier considérablement. Ces dérivateurs sont en effet robustes aux bruits de mesure et peuvent contribuer à la résolution de problèmes complexes dans le domaine de l'automatique. Néanmoins, la sélection des paramètres des dérivateurs ainsi que leurs implémentations en temps réel constituent des défis critiques lors de l'application de ces méthodes. Ce travail présente un cadre unifié pour la synthèse et l'analyse de dérivateurs basés sur des polynômes orthogonaux classiques. Des approches existantes sont davantage développées et leurs relations avec les méthodes établies sont analysées. Les dérivateurs basés sur les polynômes de Jacobi, également appelés dérivateurs algébriques, constituent une classe particulière des algorithmes étudiés dans ce travail. Des directives pour la sélection des paramètres sont déduites à partir des interprétations des filtres des dérivateurs afin d'obtenir les propriétés souhaitées dans le domaine fréquentiel. Une nouvelle approche de paramétrage basée sur un problème d'optimisation et nécessitant uniquement le signal mesuré est proposée. Lors de la discussion de l'implémentation en temps discret, la préservation des propriétés dans le domaine fréquentiel est abordée en détail. Une étude expérimentale compare les résultats issus des différents dérivateurs. Les approximations obtenues, la charge de calcul et les besoins de mémoire sont analysés et interprétés. Les deux dernières caractéristiques sont essentielles pour les applications en temps réel. L'application des dérivateurs dans le domaine de l'automatique est démontrée à l'aide de deux études expérimentales pour la détection de défauts avec des algorithmes basés sur des modèles physiques. Tout d'abord, la collision d'une balle de ping-pong avec une plaque à lévitation magnétique est discutée. Seules la mesure de la position de la plaque et les forces appliquées sont disponibles. L'approche proposée réduit considérablement le temps de calcul et les besoins en mémoire comparée aux méthodes considérées jusqu'à présent. En outre, la nouvelle approche réduit la hauteur de chute minimale détectable de la balle. Ensuite, une approche est proposée pour une détection efficace et en temps réel des défauts dans des roulements. Cette méthode est validée à l'aide de données expérimentales provenant de différents bancs d'essai. Des approches d'estimation de paramètres sont ensuite discutées. Ce travail généralise des algorithmes récemment proposés. Les conditions de convergence dérivées sont moins restrictives que celles publiées précédemment. De plus, cette approche permet d'identifier un sous-ensemble de paramètres, même si certains ne sont pas excités. Deux études expérimentales valident l'analyse théorique. Les résultats sont comparés à ceux obtenus avec des estimateurs établis et des méthodes algébriques d'estimation des paramètres. Ces exemples confirment les potentiels de ces méthodes développées dans ce travail.The reconstruction of unmeasured quantities in dynamical systems often boils down to the knowledge of derivatives of the measured system variables. The approximation of these derivatives in the presence of measurement disturbances is known to be challenging. However, numerical differentiation algorithms based on orthogonal polynomials and truncated generalised Fourier series may considerably simplify the problem. These differentiators are robust to measurement disturbances and may contribute to solving complex control engineering tasks. Critical challenges for the application of the methods are the selection of favourable parameters and their real-time implementation. This work presents a unified framework for synthesizing and analysing differentiators based on classical orthogonal polynomials. Existing approaches are extended, and their relations to established methods are investigated. Differentiators based on Jacobi polynomials, also known as algebraic differentiators, form a particular class of the considered algorithms. Parameter selection guidelines are derived based on filter interpretations of the differentiators to achieve desired frequency-domain properties. The discussion of the discrete-time implementation emphasizes the preservation of the latter properties. A new tuning approach based on an optimization problem which requires only the measured signal is proposed. An experimental case study compares the performance of the differentiators in the presence of measurement disturbances. The approximation results, the computational burden, and the storage requirements are discussed in detail. Especially the latter two properties are crucial for real-time applications. The differentiators are used for model-based fault detection problems in two experimental case studies. First, the collision of a table tennis ball with a magnetically supported plate is discussed. Only the measurement of the plate position and the applied forces are known. The proposed approach significantly reduces the computational burden and memory requirements when compared to previously considered methods. Besides, the new approach decreases theminimum detectable falling height of the ball. Then, a model-based approach for the efficient real-time detection of faults in rolling element bearings is proposed. The approach is validated using experimental data from different test benches. Finally, a parameter estimation problem is discussed. This work generalises recently proposed algorithms. The derived convergence conditions are less restrictive than the previously published ones. Besides, this approach allows identifying a subset of parameters even if some are not excited. Two experimental case studies validate the theoretical analysis. The results are compared to those achieved using standard gradient estimators and algebraic parameter estimation methods. These examples underline the great potential of these methods