On the geometry of random nodal sets

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux ensembles nodaux aléatoires, c'est-à-dire au lieux d'annulation de fonctions à valeurs réelles, dépendantes également d'un paramètre aléatoire. Notre principal modèle d'intérêt est celui des ondes aléatoires riemanniennes. L'étude de ce modèle, ainsi que de son l'ensemble nodal, est motivé par de célèbres conjectures physiques et mathématiques, comme la conjecture de Berry et la conjecture de Yau. En dimension un, cette étude se réduit à celle des zéros des polynômes trigonométriques aléatoires. Elle s'inscrit dans la théorie plus générale des zéros de processus stochastiques unidimensionnels, elle aussi riche en applications : télécommunication, traitement du signal, etc.In this thesis, we are interested in the nodal sets of random functions, that is in the vanishing locus of real functions, also depending on a random parameter. Our main model of interest is the so-called Riemannian random waves model. It is motivated by celebrated conjectures in both physics and mathematics, such as the Berry conjecture and the Yau conjecture. In dimension one, this study reduces to the study of the zeros set of random trigonometric polynomials. It is a part of the more general theory of zeros of one dimensional stochastic processes, also rich in applications: telecommunication, signal processing, etc