Méthode adaptative inexacte de Newton régularisé pour des systèmes non linéaires avec contraintes de complémentarité. Application à un écoulement multiphasique compositionnel en milieu poreux

We consider variational inequalities written in the form of partial differential equations with nonlinear complementarity constraints. The discretization of such problems leads to nonlinear non-differentiable discrete systems that can be solved employing an iterative linearization method of semismooth type like, e.g., the Newton-min algorithm. Our goal in this thesis is to conceive a simple smoothing approach that involves approximating the problem as a system of nonlinear smooth (differentiable) equations. In this setting, a direct application of classical Newton-type methods is possible. We construct a posteriori error estimates that lie at the foundation of an adaptive inexact smoothing Newton algorithm for a solution of the considered problems. We first present the strategy in a discrete framework. Then, we develop the method for the model problem of contact between two membranes. Last, an application to a compositional multiphase flow industrial model is introduced. In Chapter 1, we are concerned about nonlinear algebraic systems with complementarity constraints arising from numerical discretizations of PDEs with nonlinear complementarity problems. We produce a smooth approximation of a nonsmooth function, reformulating the complementarity conditions. The ensuing nonlinear system is solved employing the Newton method, together with an iterative linear algebraic solver to approximately solve the linear system. We establish an upper bound on the considered system’s residual and design a posteriori error estimators identifying the smoothing, linearization, and algebraic error components. These ingredients are used to formulate efficient stopping criteria for the nonlinear and algebraic solvers. With the same methodology, an adaptive interior-point method is proposed. We apply our algorithm to the algebraic system of variational inequalities describing the contact between two membranes and a two-phase flow problem. We provide numerical comparison of our approach with a semismooth Newton method, possibly combined with a path-following strategy, and a nonparametric interior-point method. In Chapter 2, in an infinite-dimensional framework, we consider as a model problem the contact problem between two membranes. We employ a finite volume discretization and apply the smoothing approach proposed in Chapter 1 to smooth the non-differentiability in the complementarity constraints. The resolution of the arising nonlinear smooth system is again realized thanks to the Newton method, in combination with an iterative algebraic solver for the solution of the resulting linear system. We design H1-conforming potential reconstructions as well as H(div)-conforming discrete equilibrated flux reconstructions. We prove an upper bound for the total error in the energy norm and conceive discretization, smoothing, linearization, and algebraic estimators reflecting the errors stemming from the finite volume discretization, the smoothing of the non-differentiability, the linearization by the Newton method, and the algebraic solver, respectively. This enables us to establish adaptive stopping criteria to stop the different solvers in the proposed algorithm and design adaptive algorithm steering all these four components. In Chapter 3, we consider a compositional multiphase flow (oil, gas, and water) with phase transitions in a porous media. A finite volume discretization yields a nonlinear non-differentiable algebraic system which we solve employing our inexact smoothing Newton technique. Following the process of Chapter 1, we build a posteriori estimators by bounding the norm of the discrete system’s residual, resulting in adaptive criteria that we incorporate in the employed algorithm. Throughout this thesis, numerical experiments confirm the efficiency of our estimates. In particular, we show that the developed adaptive algorithms considerably reduce the overall number of iterations in comparison with the existing methods.Nous considérons des inégalités variationnelles écrites sous forme d'équations aux dérivées partielles avec contraintes de complémentarité non linéaires. La discrétisation de tels problèmes conduit à des systèmes discrets non linéaires et non différentiables qui peuvent être résolus en employant une méthode de linéarisation itérative de type semi-lisse. Notre objectif est de concevoir une approche de régularisation qui approxime le problème par un système d'équations non linéaires différentiables. Une application directe des méthodes classiques de type Newton est ainsi possible. Nous construisons des estimations d'erreur a posteriori qui sont à la base d'un algorithme de Newton régularisé, inexact et adaptatif, pour une solution des problèmes considérés. Dans le chapitre 1, dans un cadre discret, nous nous intéressons aux systèmes algébriques non linéaires avec des contraintes de complémentarité provenant de discrétisations numériques d'EDP avec problèmes de complémentarité. Nous produisons une approximation différentiable d'une fonction non différentiable, en reformulant les conditions de complémentarité. Le système non linéaire qui en résulte est résolu par la méthode de Newton, ainsi qu'un solveur algébrique linéaire itératif. Nous établissons une borne supérieure sur le résidu du système considéré et concevons des estimateurs d'erreur a posteriori identifiant les composantes d'erreur de régularisation, de linéarisation et algébrique. Ces ingrédients sont utilisés pour formuler des critères d'arrêt efficaces pour les solveurs non linéaires et algébriques. Avec la même méthodologie, une méthode adaptative de points intérieurs est proposée. Nous appliquons notre algorithme au système algébrique d'inégalités variationnelles décrivant le contact entre deux membranes et à un problème d'écoulement diphasique. Nous fournissons une comparaison numérique de notre approche avec une méthode de Newton semi-lisse, éventuellement combinée avec une stratégie de path-following, et une méthode non-paramétrique de points intérieurs. Dans le chapitre 2, en dimension infinie, nous considérons le problème de contact entre deux membranes. Nous utilisons une discrétisation par la méthode des volumes finis et appliquons l'approche de régularisation proposée dans le chapitre 1 pour lisser la non-différentiabilité dans les contraintes de complémentarité. La résolution du système régularisé non linéaire qui en résulte est réalisée grâce à la méthode de Newton, en combinaison avec un solveur algébrique itératif. Nous concevons des reconstructions de potentiel H1-conformes et des reconstructions de flux équilibrés discrets H(div)-conformes. Nous prouvons une borne supérieure pour l'erreur totale par la norme d'énergie et concevons des estimateurs reflétant les erreurs provenant de la discrétisation en volumes finis, du lissage de la non-différentiabilité, de la linéarisation par la méthode de Newton et du solveur algébrique, respectivement. Cela nous permet d'établir des critères d'arrêt adaptatifs pour arrêter les différents solveurs dans l'algorithme proposé et de concevoir un algorithme adaptatif pilotant ces quatre composantes. Dans le chapitre 3, nous introduisons une application à un modèle industriel d’écoulement multiphasique compositionnel avec transitions de phase en milieu poreux. Une discrétisation par la méthode des volumes finis produit un système algébrique non linéaire et non différentiable que nous résolvons en utilisant notre technique de Newton régularisé et inexacte. En suivant le processus du chapitre 1, nous construisons des estimateurs a posteriori en majorant la norme du résidu du système discret, ce qui résulte des critères adaptatifs que nous incorporons dans l'algorithme employé. Des expériences numériques confirment l'efficacité de nos estimations. En particulier, nous montrons que les algorithmes adaptatifs développés réduisent significativement le nombre global d'itérations par rapport aux méthodes existantes