Fermionic particles and Schrödinger operators in the semiclassical limit

This thesis is devoted to the mathematical study of the spatial concentration of trapped fermion systems. In quantum mechanics, the different possible states of a particle correspond to the eigenfunctions of the Schrödinger operators. A fine description of these eigenfunctions allows to determine relevant physical properties such as the position of the particle. To do so, we place ourselves in the semiclassical limit. In chapter 1, we consider the case without interaction: we extend the semiclassical Lp Koch-Tataru-Zworski estimates of an individual function to the framework of orthonormal families of eigenfunctions and discuss their optimality. In chapter 2, we study the interacting case of a fermionic grand-canonical system by proving semiclassical asymptotics on the ground state in the Hartree-Fock approximation. In particular, we deduce an integrated Weyl law.Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique de la concentration spatiale de systèmes de fermions piégés. En mécanique quantique, les différents états possibles d'une particule correspondent aux fonctions propres des opérateurs de Schrödinger. Une description fine de ces fonctions propres permet donc de déterminer des propriétés physiques pertinentes comme la position de la particule. Nous nous plaçons pour cela dans la limite semiclassique. Dans le chapitre 1, nous considérons le cas sans interaction : nous étendons les estimées semiclassiques Lp de Koch-Tataru-Zworski d'une fonction individuelle au cadre de familles orthonormées de fonctions propres et nous discutons de leur optimalité. Dans le chapitre 2, nous étudions le cas avec interaction d'un système grand-canonique de particules fermioniques en prouvant des asymptotiques semiclassiques sur l'état fondamental dans l'approximation d'Hartree-Fock. Nous en déduisons en particulier une loi de Weyl intégrée