Métodos analiticos en la mecánica celeste: desarrollos en el problema de los dos cuerpos

Treball de Fi de Màster Universitari en Matemàtica Computacional (Pla de 2013). Codi: SIQ527. Curs 2021/2022 (A distància)En la mecánica celeste, uno de los principales problemas de estudio es el movimiento de los cuerpos del sistema solar, destacando el estudio del movimiento planetario. Este problema se puede abordar mediante técnicas numéricas o mediante técnicas analíticas, y este trabajo se centra en estas últimas, en el cual se toma para cada planeta como problema inicial el problema de dos cuerpos Sol-planeta. El problema de dos cuerpos es un problema completamente integrable que se resuelve mediante la determinación de los elementos orbitales, y la solución del problema completo con perturbaciones se aborda mediante métodos de variación de constantes, dando lugar a las ecuaciones planetarias de Lagrange. Dado que la fuerza con que los demás planetas atraen a uno dado es pequeña con respecto a la atracción del Sol, una técnica apropiada para la integración de las ecuaciones planetaria de Lagrange es el método de perturbaciones tomando como pequeños parámetros la razón de las masas planetarias a la del Sol. Para aplicar esta técnica es necesario en primer lugar conocer los desarrollos de las principales magnitudes del problema de dos cuerpos como series de Fourier en las anomalías medias de los planetas que intervienen, y para ello hay dos tareas principales: obtener todos los desarrollos de las principales cantidades involucradas, y conseguir algoritmos eficientes para obtener el desarrollo del inverso de la distancia. En este trabajo encontraremos lo referido a la primera de estas tareas, dejando para estudios posteriores el desarrollo del inverso de la distancia entre dos planetas. En la primera sección del trabajo introduciremos el problema de dos cuerpos, para en la siguiente sección presentar los principales desarrollos en funciones de Bessel. En la tercera sección estudiamos el radio de convergencia de las series. En el cuarto demostraremos un teorema debido a Cauchy y nuevos desarrollos aplicando este teorema y los números de Cauchy. En la quinta y ´ultima sección obtendremos algunos desarrollos más de interés y estudiaremos la ecuación de Bessel y Legendre