Prolongements analytiques et intégrabilité pour la classe d'universalité KPZ avec bords

The asymmetric simple exclusion process (ASEP) is a stochastic model featuring particles with contact interactions hopping randomly on a one dimensional lattice. Despite its simplicity, it possesses many interesting theoretical characteristic, as a generically non equilibrium steady state, complex hydrodynamics properties and connections with the KPZ universality class. The fact that it is exactly solvable by various methods makes it a model of choice to further our understanding of out-of-equilibrium statistical physics. If many results are known for the ASEP on a infinite lattice, much less is known for the process in finite volume. In this thesis we consider the totally asymmetric case (TASEP) with open boundary conditions of the process. We obtain exact expressions for the spectral gaps of an operator giving access to the fluctuations of the current of particle in regimes of the model relevant to KPZ universality in the large system size limit. Our derivation of the eigenstates of the TASEP is based on the systematic construction of the analytic continuations of expressions previously known for the ground state of the process, and are validated by Bethe ansatz. Connections are made with existing results for the exclusion process with periodic boundary conditions.Le processus d'exclusion simple asymétrique (ASEP) est un modèle stochastique dans lequel des particules présentant des interactions de contact se déplacent aléatoirement sur un réseau unidimensionnel. Malgré la simplicité de sa définition, de nombreuses propriétés théoriques telles que le fait qu'il présente un état stationnaire hors-équilibre ou les liens qui le relient à la classe d'universalité KPZ en font un des modèles les plus étudiés en physique statistiques. Il est de plus intégrable par ansatz de Bethe et son état stationnaire peut être calculé explicitement par ansatz matriciel, de sorte qu'il permet de dériver des résultats exacts pour la classe d'universalité KPZ. Dans cette thèse nous considérons le cas totalement asymétrique (TASEP) du processus avec des conditions aux bords ouvertes. Nous obtenons des expressions exactes pour les premiers états excités d'un opérateur donnant accès aux fluctuations du courant de particules en temps fini dans la limite thermodynamique, pour des régimes du système présentant des propriétés universelles caractéristiques de la classe KPZ. Notre méthode de calcul des états propres du TASEP ouvert est fondée sur le calcul systématique du prolongement analytique d'expressions déjà connues pour l'état stationnaire du processus, obtenue par une généralisation de l'ansatz matriciel. Ces résultats sont ensuite validés et partiellement démontré par l'étude asymptotiques des équations de Bethe du processus