Contributions aux inégalités matricielles et quelques applications

Matrix theory has been under study for a long time, it has been a fundamental tool in mathematical disciplines presenting interesting and challenging problems. In this thesis, we focus on one class of matrices which is the set of all positivesemi-definite matrices. The main topics are determinantal inequalities, eigenvalue and singular value inequalities and the geometric mean of two positive definite matrices. These concepts arise in many research areas and they play a decisive rolein information theory, quantum mechanics and other mathematical fields. The starting point of our work is the following two unconfirmed determinantal inequalities introduced by M. Lin (2017) for all positive semi-definite matrices A and B of the same order : det(A2 + |AB|p) ≥ det(A2 + Ap Bp) for 0 ≤ p ≤ 2; det(A2 + |AB|p) ≥ det(A2 + |BA|p) for p ≥ 0. We have shown that second inequality is true for a larger set of matrices; Hermitian matrices. We have also proved a more general result of the first inequality stated as follows: det(Ak + |AB|p) ≥ det(Ak + Ap Bp) for k≥2,0≤p≤ 2. The main idea of the proof is to establish logmajorization relations, we also give some applications for these relations, more precisely, an upper bound for a Golden-Thompson type inequality established by Hiai and Petz, and some new results related to the Rényi divergences. More conjectures regarding singular values inequalities are investigated.La théorie matricielle est à l'étude depuis longtemps, elle a été un outil fondamental dans les disciplines mathématiques présentant des problèmes intéressants et stimulants. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur une classe de matrices qui est l'ensemble de toutes les matrices semi-définies positives. Les sujets principaux sont les inégalités déterminantales, les inégalités aux valeurs propres et aux valeurs singulières et la moyenne géométrique de deux matrices définies positives. Ces concepts apparaissent dans de nombreux domaines de recherche et jouent un rôle décisif dans la théorie de l'information, la mécanique quantique et d'autres domaines mathématiques. Le point de départ de notretravail est les deux inégalités déterminantes non confirmées suivantes introduites par M. Lin (2017) pour toute matrice semi-définie positive A et B du même ordre : det(A2 + |AB|p) ≥ det(A2 + Ap Bp) pour 0 ≤ p ≤ 2; det(A2 + |AB|p) ≥ det(A2 + |BA|p) pour p ≥ 0. Nous avons montré que la seconde inégalité est vraie pour un plus grand ensemble de matrices ; Matrices hermitiennes. Nous avons également démontré un résultat plus général de la première inégalité énoncé comme suit : det(Ak + |AB|p) ≥ det(Ak + ApBp) pour k≥2,0≤p≤ 2 L'idée principale de la preuve est d'établir desrelations de log-majorisation, nous donnons également quelques applications pour ces relations, plus précisément une borne supérieure pour une inégalité de type Golden-Thompson établie par Hiai et Petz, et quelques nouveaux résultats liés aux divergences de Rényi. Plus de conjectures concernant les inégalités de valeurs singulières sont étudiées