Gamma-convergence et singularités vortex au bord dans des films ferromagnétiques minces avec interaction de Dzyaloshinskii-Moriya

This thesis deals with the asymptotic analysis of a variational model for thin ferromagnetic films. We study the micromagnetic energy for three-dimensional maps with values into the unit sphere S^2, called magnetizations, by taking into account the antisymmetric effect of the Dzyaloshinskii-Moriya interaction. In the first chapter, we study the Gamma-convergence of the micromagnetic energy in a thin-film regime that favors boundary vortices of size epsilon>0, via a boundary penalization in the Gamma-limit energy. This limit is in fact defined for magnetizations that are invariant in the thickness of the film and take values into the unit circle S^1. It means that the general three-dimensional model reduces to a two-dimensional model. We then focus on local minimizers in the upper-half plane of the Gamma-limit energy. To do so, we begin with studying its critical points, that satisfy a nonlinear Neumann boundary value problem, similar to the Peierls-Nabarro problem. We deduce, under certain conditions, the uniqueness of the local minimizers of the energy in the sense of De Giorgi. These minimizers correspond to maps having a vortex of size epsilon>0 on the boundary of the domain. In the second chapter, we consider another thin-film regime for boundary vortices. Roughly speaking, this regime corresponds to the limit epsilon tends to 0 in the previous model. The study of the three-dimensional general model reduces here to an intermediate two-dimensional model for R^2-valued maps (not S^1-valued maps), that combines an interior penalization and a boundary penalization on the domain. First, we study this two-dimensional intermediate model. Using the notion of global Jacobian, we prove compactness results and an asymptotic expansion at the second order by Gamma-convergence for the micromagnetic energy. The first order term indicates that the singularities are located on the boundary of the domain, while the second order term is a renormalized energy, similar to the Ginzburg-Landau model, that measures the interactions between the boundary vortices. We compute explicitely this renormalized energy, that depends on the Dzyaloshinskii-Moriya interaction, and study the structure of its minimizers. Finally, thanks to these results, we deduce the Gamma-convergence at the second order for the general three-dimensional model.Cette thèse porte sur l'analyse asymptotique d'un modèle variationnel pour les films ferromagnétiques minces. On étudie l'énergie micromagnétique, définie pour des applications d'un ouvert de R^3 à valeurs dans la sphère S^2, appelées aimantations, en prenant en compte l'effet antisymétrique dû à l'interaction de Dzyaloshinskii-Moriya. Dans le premier chapitre de la thèse, on étudie la Gamma-convergence de l'énergie micromagnétique dans un régime de film mince qui favorise l'émergence de vortex au bord de taille epsilon>0, via une pénalisation au bord obtenue dans la Gamma-limite de l'énergie. Cette limite est en fait définie pour des aimantations invariantes dans l'épaisseur du film et à valeurs dans le cercle unité S^1, ce qui signifie que le modèle général en trois dimensions se réduit à un modèle en deux dimensions. On cherche ensuite les minimiseurs locaux de l'énergie Gamma-limite dans le demi-plan supérieur. Pour cela, on étudie d'abord ses points critiques, qui satisfont un problème de Neumann non linéaire similaire au problème de Peierls-Nabarro. On en déduit, sous certaines conditions, l'unicité des minimiseurs locaux de l'énergie au sens de De Giorgi. Ceux-ci correspondent à des applications qui tendent à présenter un vortex de taille epsilon>0 sur le bord du domaine. Dans le second chapitre de la thèse, on considère un autre régime de film mince favorisant les singularités vortex au bord. Grosso modo, ce régime consiste dans l'analyse du modèle précédent lorsque epsilon tend vers 0. On montre que l'étude du modèle général en trois dimensions se ramène ici aussi à l'étude d'un modèle intermédiaire en deux dimensions, mais dans lequel figurent à la fois une pénalisation intérieure (les applications ne sont plus à valeurs dans S^1) et une pénalisation au bord du domaine. D'abord, on étudie ce modèle intermédiaire en deux dimensions. Grâce à la notion de Jacobien global, on obtient des résultats de compacité et un développement asymptotique au second ordre par Gamma-convergence de l'énergie micromagnétique. Le terme d'ordre un montre que les singularités vortex sont localisées au bord du domaine, tandis que le terme d'ordre deux est une énergie renormalisée, semblable à celle rencontrée dans le modèle de Ginzburg-Landau, qui permet d'estimer le coût d'interaction entre les vortex au bord. On calcule explicitement cette énergie renormalisée, influencée par l'interaction de Dzyaloshinskii-Moriya, et on étudie la structure des minimiseurs. Enfin, grâce à ces résultats, nous déduisons la Gamma-convergence à l'ordre deux dans le modèle en trois dimensions