Quelques problèmes d'algorithmique et combinatoires en théorie des grapphes

This thesis is about graph theory. Formally, a graph is a set of vertices and a set of edges, which are pair of vertices, linking vertices. This thesis deals with various decision problem linked to the notion of graph, and, for each of these problem, try to find its complexity class, or to give an algorithm. The first chapter is about the problem of finding the smallest connected tropical subgraph of a vertex-colored graph, which is the smallest connecter subgraph containing every colors. The second chapter is about problems of tropical homomorphism, a generalization of coloring problem. A link between these problems and several other class of homomorphism problems can be found in this chapter, especially with the class of Constraint Satisfaction Problem. The third chapter is about two variant of the domination problem, namely the global alliance problems in a weighted graph and the safe set problem. The fourth chapter is about the problem of finding a star tree-decomposition, which is a tree-decomposition where the radius of bags is 1. Finally, the fifth chapter is about a variant of the problem of deciding the asymptotic behavior of the iterated biclique graphLe sujet de cette thèse est la théorie des graphes. Formellement, un graphe est un ensemble de sommets et un ensemble d’arêtes, c’est à dire de paires de sommets, qui relient les sommets. Cette thèse traite de différents problèmes de décisions binaires ou de minimisations liés à la notion de graphe, et cherche, pour chacun de ces problèmes, à déterminer sa classe de complexité, ou à fournir un algorithme. Le premier chapitre concerne le problème de trouver le plus petit sous-graphe connexe tropical dans un graphe sommet-colorié, c’est à dire le plus petit sous-graphe connexe contenant toutes les couleurs. Le deuxième chapitre concerne les problèmes d’homomorphisme tropical, une généralisation des problèmes de coloriage de graphe. On y trouve un lien entre ces problèmes et plusieurs classes de problèmes d’homomorphismes, dont la classe des Problèmes de Satisfaction de Contraintes. Le troisième chapitre concerne deux variantes lointaines du problème de domination, nommément les problèmes d’alliances globales dans un graphe pondéré et le problème de l’ensemble sûr. Le quatrième chapitre concerne la recherche d’une décomposition arborescente étoilée, c’est à dire une décomposition arborescente dont le rayon des sacs est 1. Enfin, le cinquième chapitre concerne une variante du problème de décider du comportement asymptotique de l’itéré du graphe des bicliques