Méthodes Formelles pour les Langages de Programmation Quantiques

The quantum random-access machine (QRAM) model is a practical model of quantum computation composed of a classical computer and a quantum processor communicating with each other. The program is executed on the classical computer. It can send instructions corresponding to quantum operations and receive measurement outcomes from the quantum co-processor. This model is expected to be the model of quantum computation in the near future, and a group of quantum programming languages has been developed based on it. While the program in the model has the ability to simulate any quantum circuit with the help of a quantum processor, analyzing the program becomes difficult without relying on another quantum computer. This problem calls for the development of formal methods for quantum programming languages: formal tools to develop and reason on code optimization, analyze resources, and specify and prove the properties of quantum programs. One of these tools is categorical semantics, which links the actions of quantum operators to the meaning of quantum programs and embeds logical systems on quantum states to the type system of the language. Although categorical semantics for quantum programming languages is an established field, dynamic lifting —the ability to use the result of a measurement in the classical host— has so far only been considered in the context of denotational semantics based on operator algebras: a circuit in the model is not a syntactic object that can be manipulated. In this thesis, we formalize dynamic lifting in a quantum circuit-description language which allows programs to transfer the result of measuring quantum data into classical data. Following the Proto-Quipper approach, we define a typed circuit-description language called Proto- Quipper-L, where the lifted data is encoded in the branching structure. Dynamic lifting is then formalized within the operational and categorical semantics. Our categorical semantics is based on the model from Rios&Selinger for Proto-Quipper- M. However, to formalize dynamic lifting, we construct, on top of a concrete category of circuits with measurements, a Kleisli category, capturing the measurement as a side effect. We show the soundness of this semantics with regard to the operational semantics.Le modèle Qram est un modèle de calcul quantique pratique composé d’un ordinateur classique et un processus quantique qui communiquent entre eux. Le programme est exécuté sur l’ordinateur classique. Il envoie les instructions correspondant aux opérateurs quantiques sur le co-processeur, et reçoit le résultat de l’observation de l’état quantique. Ce modèle est considéré comme un modèle standard et plusieurs langages de programmation ont été conçus en basant sur ce modèle. Alors que les programmes dans ce modèle sont capables de réaliser tout calcul quantique grâce à l’usage de la mémoire quantique, il est difficile de les analyser sans l’aide d’un autre ordinateur quantique. Ce problème suscite le besoin pour des méthodes formelles pour les langages programmations quantiques : les outils formels pour raisonner sur l’optimisation du code, pour l’analyser des ressources, et pour spécifier et prouver les propriétés des programmes quantiques. La sémantique catégorique fait partie de ces méthodes qui fait le lien entre les opérateurs quantiques et les programmes et introduit le système logique qui peut décrire les propriétés sur l’état quantique dans le système de types. Bien que plusieurs travaux proposent des sémantiques catégoriques pour les langages de description de circuits quantiques, aucun ne supporte l’usage du résultat d’une mesure au sein du processeur classique (le ”levage dynamique”). Dans cette thèse, nous formalisons le levage dynamique qui transfère le résultat d’observations sur l’état quantique à l’information classique dans un langage de programmation de description de circuit quantique. En suivant l’approche du langage Proto-Quipper, nous définissons un langage typé de description de circuit quantique où l’information quantique levée est incorporée dans la structure ramifiée. Ensuite, le levage dynamique est formalisé dans le cadre de la sémantique opérationnelle et la sémantique catégorique. Notre sémantique catégorique est basée sur le modèle de Francisco Rios et Peter Selinger pour le langage programmation Proto-Quipper- M. Pourtant, pour formaliser le levage dynamique, nous construisons une catégorie de Kleisli en capturant la mesure quantique comme un effet de bord sur une catégorie concrète pour le circuit avec la mesure quantique. Nous prouvons le théorème de correction de la sémantique catégorique par rapport à la sémantique opérationnelle