Simulation numérique d'écoulements géophysiques à l'aide de méthodes numériques de type Lagrange-Projection équilibres et d'ordre élevé

In this PhD thesis, we mainly consider the numerical simulation of geophysical flows by means of hydrodynamics models. We are especially interested in applications to sediment transport, sediment erosion-deposition processes and stratified flows. Advanced models based on (one or two-layer) shallow-water equations have been used to take these phenomena into account. However, as a starting point of this thesis, we also built numerical schemes for the blood flow equations.In order to be able to simulate such flows, we aim to design, analyze and implement high-order and well-balanced efficient numerical methods that are based on a Lagrange-Projection formalism. In a few words, such algorithms are composed of two steps: the Lagrangian step takes into account the compressibility effects of the flow, while the Projection step is dedicated to the transport phenomena. Such a splitting is of particular interest in many geophysical flows as it provides a natural time scale decomposition leading to very efficient implicit-explicit schemes.Dans cette thèse, nous considérons principalement la simulation numérique des écoulements géophysiques à l'aide de modèles hydrodynamiques. Nous sommes particulièrement intéressés par les applications au transport de sédiments, aux processus d'érosion-dépôt des sédiments et aux écoulements stratifiés. Des modèles avancés basés sur les équations de Saint-Venant (à une ou deux couches) ont été utilisés pour prendre en compte ces phénomènes. Cependant, comme point de départ de cette thèse, nous avons également realisé des schémas numériques pour les équations du flux sanguin.En effet, afin de pouvoir simuler de tels modèles, nous cherchons à concevoir et analyser une stratégie numérique efficace d'ordre supérieur et équilibre, en se basant sur un formalisme de type Lagrange-Projection. En quelques mots, de tels algorithmes se décomposent en deux étapes : l'étape lagrangienne prend en compte les effets de compressibilité tandis que l'étape de projection est dédiée aux phénomènes de transport. Une telle décomposition présente un intérêt particulier dans de nombreux écoulements géophysiques car elle fournit une décomposition naturelle des échelles de temps et conduit à des schémas implicites-explicites très efficaces