Finite difference and finite volume methods for shallow water equations on the sphere using reduced grids

À medida em que a capacidade de processamento de supercomputadores aumenta, os modelos numéricos para previsão de tempo e estudo de clima precisam se adequar para utilizar estes recursos de forma eficiente e fornecer resultados mais detalhados e precisos, sem aumentar o tempo total de processamento. Atualmente, esta necessidade se apresenta como uma procura por métodos numéricos eficientes para implementações com uma grande quantidade de núcleos de processamento. Uma das alternativas são os métodos com operadores locais, malha quase-uniforme e passo de tempo explícito. Infelizmente, estes esquemas podem apresentar acúmulo de erros provocados pela malha ou processos de instabilidade. Várias opções foram descritas na literatura, cada uma com algumas propriedades boas e também certas limitações. Neste projeto, consideramos alguns métodos apresentados anteriormente e procuramos formas de adaptar os seus operadores para obter um desempenho melhor numa escolha particular de malha esférica. Os métodos determinam aproximações para as equações de água rasa numa esfera utilizando malhas reduzidas de tipo C, diferenças finitas, volumes finitos e um passo de tempo explícito. Ao longo do desenvolvimento de cada esquema, consideramos formas de obter propriedades de conservação, cancelamento, consistência e estabilidade. Os testes numéricos descrevem a ordem de convergência, padrões de erro provocados pela malha e a capacidade de preservar situações em equilíbrio. A tese apresenta três métodos com definições e características distintas. O primeiro esquema mostra uma forma de obter conservação e consistência com malhas reduzidas de Voronói. Este método apresentou baixa precisão e forte presença de ruído na solução. O segundo método usa uma opção com conservação e consistência para malhas reduzidas com células logicamente retangulares e interpolações. Este esquema se mostrou adequado para regiões afastadas dos polos, mas apresentou problemas de acúmulo de erros nos polos. O terceiro método dá mais prioridade a propriedades de consistência do que a características de conservação. Os resultados com este método foram bons para descrever a esfera toda. Os testes numéricos com o esquema proposto apresentaram erros menores do que um método de referência com malha de latitude-longitude.With the growth of processing capacity on supercomputers, the numerical models for weather forecast and climate study have to be adapted to employ these resources adequately and provide results with more details and better accuracy, even performing with the same total processing time. Currently, this requirement is presented as a search for numerical methods with an efficient implementation for a large number of processing cores. One alternative is given by schemes with local operators, quasi-uniform grid, and explicit time-step. Unfortunately, these methods may show accumulation of errors caused by the grid or instability processes. Several options were described in the literature, each one with some good characteristics and also some limitations. In this project, we consider some methods presented previously and investigate alternatives to adapt their approximations and try to obtain a better performance with a specific spherical grid. The methods provide approximations to shallow water equations on the sphere using reduced C-grids, finite differences, finite volumes, and explicit time-step. Throughout the text, we consider options to obtain properties related to conservation, cancelation, consistency, and stability with each scheme. The numerical tests describe the convergence order, error pattern caused by the grid, and the ability of preserving equilibrium situations. This thesis presents three methods with distinct definitions and characteristics. The first scheme shows an option to achieve conservation and consistency with Voronoi reduced grids. This method presented a low accuracy and errors with a short wavelength. The second method uses an alternative with conservation and consistency for reduced grids with logically rectangular cells and interpolations. This scheme provided adequate results on regions away from polar points but presented a problem of error accumulation in the polar regions. The third method considers the consistency as a first priority and conservation as a second objective. Numerical results using this method were good in the entire sphere. Numerical simulations with the proposed scheme presented smaller errors than a reference method with latitude-longitude grid