Analyse de quelques inégalités fonctionnelles et équations aux dérivées partielles liées à de grands systèmes quantiques

We study several topics in analysis which come from many-body quantum mechanics. More specifically, we consider nonlinear partial differential equations and functional inequalities that describe a large number of fermions in a mean-field approximation. This leads to the mathematical analysis of one-body density matrices with large or infinite trace, with a special emphasis on the associated spatial distribution of particles. We adapt tools from dispersive PDEs, Fourier and semiclassical analysis to this setting. In a first part, we relate several evolution equations describing large quantum systems (relativistic and nonrelativistic) in various asymptotic regimes, employing both compactness methods or strong estimates. In a second part, we develop methods in harmonic analysis that imply functional inequalities on density matrices that we call fermionic. In a third and last part (unrelated tomany-body quantum mechanics), we study the existence of optimizers for Fourier extension inequalities by compactness methods.Nous étudions plusieurs questions d'analyse provenant de la mécanique quantique à plusieurs corps. Plus précisément, nous considérons des équations aux dérivées partielles non-linéaires ainsi que des inégalités fonctionnelles décrivant un grand nombre de fermions dans une approximation de champ moyen. Cela mène à l'analyse mathématique des matrices densités à un corps dont la trace est grande ou infinie, avec un intérêt particulier pour la distribution spatiale de particules associée. Nous adaptons des outils d'EDPs dispersives, d'analyse de Fourier et semi-classique à ce cadre. Dans une première partie, nous établissons un lien entre plusieurs équations d'évolution qui décrivent de grands systèmes quantiques (relativistes et non-relativistes) dans certains régimes asymptotiques, en utilisant des méthodes de compacité ou de convergence forte. Dans une deuxième partie, nous développons des méthodes d'analyse harmonique qui impliquent des inégalités fonctionnelles sur des matrices densités que nous appelons fermioniques. Dans une troisième et dernière partie (sans lien avec la mécanique quantique à plusieurs corps), nous étudions l'existence de fonctions optimales pour des inégalités d'extension de la transformée de Fourier, à l'aide de méthodes de compacité