Opérateurs semi-classiques de classe Gevrey dans le domaine complexe

International audienceWe study semiclassical Gevrey pseudodifferential operators, acting on exponentially weighted spaces of entire holomorphic functions. The symbols of such operators are Gevrey functions defined on suitable I-Lagrangian submanifolds of the complexified phase space, which are extended almost holomorphically in the same Gevrey class, or in some larger space, to complex neighborhoods of these submanifolds. Using almost holomorphic extensions, we obtain uniformly bounded realizations of such operators on a natural scale of exponentially weighted spaces of holomorphic functions for all Gevrey indices, with remainders that are optimally small, provided that the Gevrey index is less than or equal to 2.Nous étudions les opérateurs pseudo-différentiels de classe Gevrey dans le cadre semi-classique, agissant sur des sous-espaces L² à poids exponentiels de fonctions holomorphes. Les symboles de tels opérateurs sont des fonctions de classe Gevrey définies sur des sous-variétés I-lagrangiennes appropriées du complexifié de l’espace des phases, qui sont prolongés par des extensions presque-analytiques dans la même classe de Gevrey, ou dans un espace fonctionnel plus large, définies sur des voisinages complexes de ces sous-variétés. En utilisant les extensions presque-analytiques et la méthode de déformation de contours dans le plan complexe, nous obtenons – avec des choix de contours adéquats « bon contours » – des réalisations uniformément bornées de ces opérateurs sur une famille « naturelle » de sous-espaces L² à poids exponentiels de fonctions holomorphes pour tous les indices de Gevrey, avec des estimées optimales des restes sous la condition que l’indice de Gevrey est inférieur ou égal à 2