Techniques de réduction de modèles pour des problèmes stochastiques

In this thesis we have worked on two different subjects. First we have developed a theoretical analysis of a numerical method used to construct a control variate using reduced basis. The reduced basis is constructed via a Greedy algorithm where the norm is evaluated using a Monte Carlo estimator (Monte Carlo Greedy algorithm). We prove using concentration inequalities and under some conditions on the sampling number [Dollar]M_n[dollar] at each iteration [dollar]nin mathbb{N}^*[dollar], that with high probability, the Monte Carlo Greedy algorithm is a weak Greedy algorithm. Unfortunately, the theoretical obtained result could not be implemented as the lower bound on the sampling number is huge at each iteration [dollar]n[dollar] which implies a big increment on [dollar]M_n[dollar]. To escape this problem we developed a heuristic algorithm based on weakening the lower bound and replacing it by a condition inspired from the theoretical results. We apply this algorithm on three test cases. The obtained numerical results show a very good matching, in the offline phase, between several theoretical and numerical indicators as the decay of the distance between the constructed reduced basis and the manifold. In the online phase we show that for a fixed statistical error we need a sampling number [dollar]M=10^6[dollar] for the standard Monte Carlo estimator while we have needed only [dollar]M=349[dollar] for the Monte Carlo estimator on the control variate (result deduced from the first test case). A possible perspective would be to adapt the algorithm and the numerical analysis to the sampling by Markov Chains (Marko Chain Monte Carlo).Second, we have developed different schemes to efficiently approximate the solution of a parametric stochastic differential equation in the additive and multiplicative noise case. The different schemes are inspired from the splitting method developed for parametrized differential equations. We check that these schemes are strongly consistent with order one with an Euler Maruyama discretization. We use these schemes to build a control variate to efficiently compute the expectation of (observables of) the parametric process, at each time step. The numerical results, on the additive case, show a reduction of the computational time up to [dollar]15[dollar] times compared to the computational time needed for the standard Monte Carlo estimator for the same sampling number under a relative error of about [dollar]1[dollar per cent. Finally, various schemes are proposed to extend the previous results to a parametric stochastic differential equation including a McKean non-linear term. We again observe a significant gain of the computational time. For futurework, let us mention that it would be interesting to extend the numerical analysis results which have been obtained in the literature for ODE to our setting of SDE.Dans cette thèse, deux sujets différents ont été abordés. D'abord, on a développé une analyse théorique d'une méthode numérique qui consiste à construire une variable de contrôle en utilisant les bases réduites. Cette base réduite est construite en utilisant l'algorithme Glouton où la norme utilisée est approximée à l'aide d'un estimateur de Monte Carlo (Monte Carlo Greedy algorithm). On prouve en utilisant les inégalités de concentration et sous des conditions sur le nombre d'échantillonnage [dollar]M_n[dollar] à chaque itération [dollar]nin mathbb{N}^*[dollar], qu'avec une grande probabilité, le Monte Carlo Greedy algorithm est un algorithme faiblement Greedy. Cependant, le résultat théorique obtenu ne peut pas être utilisé en pratique du fait que la borne inférieure sur le nombre d'échantillonnage explose très vite ce qui implique un nombre prohibitif d'échantillonnage à considérer. Pour contourner ce problème, on a développé un algorithme heuristique en affaiblissant la borne inférieure sur le nombre d'échantillonnage et en la remplaçant par une condition inspirée du résultat théorique. On applique cet algorithme sur trois tests. Les résultats numériques obtenus montrent une bonne correspondance, dans la partie hors ligne, entre des indicateurs approximatifs et d'autres exacts, comme la distance entre la base réduite et le manifold. Dans la phase en ligne, on observe que pour une erreur statistique fixée, on a besoin d'un nombre d'échantillonnage [dollar]M=10^6[dollar] pour l'estimateur de Monte Carlo standard, tandis que pour l'estimateur construit avec la variable de contrôle on a besoin uniquement d'un nombre d'échantillonnage [dollar]M=349[dollar] (ces résultats on été obtenus sur le premier test). Une perspective de ce travail serait d'étendre ces résultats d'analyse numérique pour des algorithmes utilisant des chaines de Markov (Markov Chain Monte Carlo).Ensuite, dans un deuxième travail, on a développé différents schémas pour approximer efficacement la solution d'une équation différentielle stochastique paramétrée dans les cas de bruits additifs et multiplicatifs. Les différents schémas sont inspirés de la méthode splitting développée pour les équations différentielles ordinaires paramétrées. On vérifie que ces schémas sont fortement consistants en ordre 1 avec le schéma Euler Maruyama. On utilise ces schémas pour construire une variable de contrôle pour approximer efficacement l'espérance du processus paramétré à chaque instant. Le résultat numérique, dans le cas d'un bruit additif, montre une réduction du temps computationnel qui s'éléve à [dollar]15[dollar] fois en comparaison avec le temps computationnel de l'estimateur de Monte Carlo standard en utilisant le même nombre d'échantillonnage avec une erreur de [dollar]1[dollar] pour cent. Finalement, d'autres schémas on été proposés pour étendre le résultat précédent à des équations différentielles stochastiques paramétrées incluant un terme non-linéaire de McKean. On observe un gain en temps computationnel significatif. Dans la perspective de ce travail, il est intéressant d'étendre l'analyse numérique effectuée pour les ODE à notre cas des SDE