Dynamique collective dans des populations avec variabilité microscopique

The collective behaviour resulting from the interaction of individuals with similar features (molecules, cells, organisms or species) often displays a function or meaning at a higher level of description. For instance, in order for the heart to beat it is not sufficient that each single cell contracts, but the contraction of the muscle cells must occur in a coordinated manner throughout the tissue. Although not yet clearly related to a function, synchronisation of the metabolic activity of yeast cells suspensions provide a further example of a system allowing for controlled experimental investigations of how microscopic features determine population dynamics. On another level, the oscillations in the behavioural strategies induced by evolutionary or imitation dynamics also pose the problem of linking the microscopic rules to the performance of such strategies in a population. The present thesis aims at gaining insight into how the dynamical properties at a high observation level (where the population is described by means of statistics) are related to the laws ruling the evolution and interaction of the individuals. This scope is pursued in the context of two theoretical frameworks: that of globally coupled oscillators, to which the first part of the thesis is dedicated, and that of evolutionary game theory, addressed in the second part. When the population is composed of similar units it is often assumed that each individual can be described by the same dynamical system. In this manner, one can focus on the complexity of the collective regimes that occur due to the existence of a large number of microscopic degrees of freedom. On the other hand, diversity is characteristic of real and, notably, in biological populations. The first part of this thesis is dedicated to the development of an analytical approach for addressing the influence of disorder on the collective dynamics of globally coupled dynamical systems. This work has been inspired by the experiments on cell suspensions performed at the Department of Chemistry, University of Copenhagen and developed in collaboration with Francesco d'Ovidio, Hugues Chaté and Erik Mosekilde. The primary idea is to examine to what extent one can deduce information about individual dynamics from observation of global variables. In the second part of the thesis, I deal with populations that are divided into classes with different features (strategies), and where individuals change class according to assigned microscopic rules (defining a game). In the context of evolutionary game theory, I address a case in which players interact in groups rather than in pairs. Specifically, I provide a microscopic foundation to the dynamics of cooperation in the voluntary public goods game, widely used as a prototype for the study of social interactions. This part of the work was conducted in collaboration with Karl Sigmund, Christoph Hauert and Joseph Hofbauer at the Institute of Mathematics, University of Vienna.Le comportement collectif résultant de l'interaction d'individus ayant des caractéristiques similaires (molécules, cellules, organismes ou espèces) présente souvent une fonction ou une signification à un niveau de description supérieur. Par exemple, pour que le cœur batte, il ne suffit pas que chaque cellule se contracte, mais la contraction des cellules musculaires doit se produire de manière coordonnée dans tout le tissu. Bien qu'elle ne soit pas encore clairement liée à une fonction, la synchronisation de l'activité métabolique des suspensions de cellules de levure constitue un autre exemple de système permettant des études expérimentales contrôlées sur la façon dont les caractéristiques microscopiques déterminent la dynamique des populations. A un autre niveau, les oscillations dans les stratégies comportementales induites par la dynamique d'évolution ou d'imitation posent également le problème de relier les règles microscopiques à la performance de telles stratégies dans une population.La présente thèse vise à comprendre comment les propriétés dynamiques à un niveau d'observation élevé (où la population est décrite au moyen de statistiques) sont liées aux lois régissant l'évolution et l'interaction des individus.Cet objectif est poursuivie dans le contexte de deux cadres théoriques : celui des oscillateurs globalement couplés, auquel la première partie de la thèse est consacrée, et celui de la théorie des jeux évolutifs, abordé dans la seconde partie. Lorsque la population est composée d'unités similaires, on suppose souvent que chaque individu peut être décrit par le même système dynamique. De cette manière, on peut se concentrer sur la complexité des régimes collectifs qui se produisent en raison de l'existence d'un grand nombre de degrés de liberté microscopiques. D'autre part, la diversité est caractéristique du réel et, notamment, des populations biologiques. La première partie de cette thèse est consacrée au développement d'une approche analytique pour aborder l'influence du désordre sur la dynamique collective de systèmes dynamiques globalement couplés. Ce travail a été inspiré par les expériences sur les suspensions cellulaires réalisées au Département de Chimie de l'Université de Copenhague et développé en collaboration avec Francesco d'Ovidio, Hugues Chaté et Erik Mosekilde. L'idée première est d'examiner dans quelle mesure on peut déduire des informations sur la dynamique individuelle à partir de l'observation des variables globales. Dans la deuxième partie de la thèse, je traite des populations qui sont divisées en classes avec des caractéristiques différentes (stratégies), et où les individus changent de classe selon des règles microscopiques assignées (définissant un jeu). Dans le contexte de la théorie des jeux évolutifs, j'aborde un cas où les joueurs interagissent en groupes plutôt qu'en paires. Plus précisément, je fournis une base microscopique à la dynamique de la coopération dans le jeu de biens publics volontaires, largement utilisé comme prototype pour l'étude des interactions sociales. Cette partie du travail a été réalisée en collaboration avec Karl Sigmund, Christoph Hauert et Joseph Hofbauer à l'Institut de mathématiques de l'Université de Vienne