Homologie persistante des processus stochastiques et leurs fonctions zêta

This thesis studies the persistent homology of $\mathbb{R}$-valued continuous functions $f$ on compact topological spaces $X$. The introduction of homological indices and homological dimensions allows us to link persistence theory to metric quantities of the compact space $X$, such as its upper-box dimension. These quantities give a precise framework to the Wasserstein $p$-stability results known in the literature, but also extend them to Hölder functions on more general spaces (including all compact Riemannian manifolds) with explicit constants and whose regime for $p$ is optimal. In degree zero of homology, a more in-depth study can be made using trees associated to $f$, which generalize the merge trees definable when $f$ is Morse. It is possible to link the dimension of these trees to the persistence index of $f$ and to its barcode. We apply these deterministic results to the stochastic setting to draw consequences about the barcodes of random functions of prescribed regularity. These consequences also allow us to develop distributional discrimination tests for the processes, of which we present a particular example. Finally, we define the $\zeta$-functions associated with a stochastic process and compute these functions and other related quantities for several processes in dimension one, including the Brownian motion and the $\alpha$-stable Lévy processes.Cette thèse étudie l'homologie persistante des fonctions continues à valeurs réelles $f$ sur des espaces topologiques compacts $X$. L'introduction des indices homologiques et des dimensions homologiques permet de lier la théorie de la persistance à des quantités métriques de l'espace compact $X$, telles que sa dimension. L'étude de ces quantités permet de d'étendre les résultats de stabilité des distances Wasserstein $p$ sur l'espace des diagrammes de persistance aux fonctions höldériennes sur des espaces métriques plus généraux que ceux précédemment établis par la littérature (qui incluent en particulier toutes les variétés riemanniennes compactes) avec des constantes explicites. En degré d'homologie zéro, une étude plus approfondie peut être réalisée à l'aide d'arbres associés à $f$, qui généralisent les merge trees définissables lorsque $f$ est de Morse. Il est possible de lier la dimension de ces arbres à l'indice de persistance de $f$ et à son code-barres. Nous appliquons ces résultats déterministes au cadre stochastique pour en tirer des conséquences sur les code-barres de fonctions aléatoires de régularité prescrite. Ces conséquences permettent en outre d'élaborer des tests de discrimination de distribution des processus, dont nous présentons un exemple particulier. Enfin, nous définissons les fonctions $\zeta$ associés à un processus stochastique et nous calculons ces fonctions d'autres quantités annexes pour plusieurs processus en dimension $1$, ainsi que le mouvement Brownien et les processus de Lévy $\alpha$-stables