Exploration des invariances de séries temporelles multivariées via la géométrie Riemannienne : validation sur des données EEG

Multivariate time series are the standard tool for describing and analysing measurements from multiple sensors during an experiment. In this work, we discuss different aspects of such representations that are invariant to transformations occurring in practical situations. The main source of inspiration for our investigations are experiments with neural signals from electroencephalography (EEG), but the ideas that we present are amenable to other kinds of time series.The first invariance that we consider concerns the dimensionality of the multivariate time series. Very often, signals recorded from neighbouring sensors present strong statistical dependency between them. We present techniques for disposing of the redundancy of these correlated signals and obtaining new multivariate time series that represent the same phenomenon but in a smaller dimension.The second invariance that we treat is related to time series describing the same phenomena but recorded under different experimental conditions. For instance, signals recorded with the same experimental apparatus but on different days of the week, different test subjects, etc. In such cases, despite an underlying variability, the multivariate time series share certain commonalities that can be exploited for joint analysis. Moreover, reusing information already available from other datasets is a very appealing idea and allows for “data-efficient” machine learning methods. We present an original transfer learning procedure that transforms these time series so that their statistical distributions become aligned and can be pooled together for further statistical analysis.Finally, we extend the previous case to when the time series are obtained from different experimental conditions and also different experimental setups. A practical example is having EEG recordings from subjects executing the same cognitive task but with the electrodes positioned differently. We present an original method that transforms these multivariate time series so that they become compatible in terms of dimensionality and also in terms of statistical distributions.We illustrate the techniques described above on EEG epochs recorded during brain-computer interface (BCI) experiments. We show examples where the reduction of the multivariate time series does not affect the performance of statistical classifiers used to distinguish their classes, as well as instances where our transfer learning and dimension-matching proposals provide remarkable results on classification in cross-session and cross-subject settings.For exploring the invariances presented above, we rely on a framework that parametrizes the statistics of the multivariate time series via Hermitian positive definite (HPD) matrices. We manipulate these matrices by considering them in a Riemannian manifold in which an adequate metric is chosen. We use concepts from Riemannian geometry to define notions such as geodesic distance, center of mass, and statistical classifiers for time series. This approach is rooted on fundamental results of differential geometry for Hermitian positive definite matrices and has links with other well established areas in applied mathematics, such as information geometry and signal processing.L’utilisation de séries temporelles multi-variées est une procédure standard pour décrire et analyser des mesures enregistrées par plusieurs capteurs au cours d’une expérience. Dans ce travail, nous discutons certains aspects de ces représentations temporelles, invariants aux transformations qui peuvent se produire en situations pratiques. Nos recherches s’inspirent en grande partie d’expériences neurophysiologiques reposant sur l’enregistrement de l’activité cérébrale au moyen de l'électroencéphalographie (EEG), mais les idées que nous présentons ne sont pas restreintes à ce cas particulier et peuvent s’étendre à d'autres types de séries temporelles.La première invariance sur laquelle nous portons notre attention est celle de la dimensionalité des séries temporelles multi-variées. Bien souvent, les signaux enregistrés par des capteurs voisins présentent une forte dépendance statistique entre eux. Nous introduisons donc l’utilisation de techniques permettant d’éliminer la redondance des signaux corrélés et d’obtenir de nouvelles représentations du même phénomène en dimension réduite.La deuxième invariance que nous traitons est liée à des séries temporelles qui décrivent le même phénomène mais sont enregistrées dans des conditions expérimentales différentes. Par exemple, des signaux enregistrés avec le même appareil expérimental, mais à différents jours de la semaine ou sur différents sujets, etc. Dans de tels cas, malgré une variabilité sous-jacente, les séries temporelles multi-variées partagent certains points communs qui peuvent être exploités par une analyse conjointe. En outre, la réutilisation des informations déjà disponibles à partir d'autres jeux de données est une idée très séduisante et permet l’utilisation de méthodes d'apprentissage automatiques dites «data-efficient». Nous présentons une procédure originale d’apprentissage par transfert qui transforme les séries temporelles de telle sorte que leurs distributions statistiques soient alignées et puissent être regroupées pour une analyse statistique plus poussée.Enfin, nous étendons le cas précédent au contexte où les séries temporelles sont obtenues à partir de différentes conditions expérimentales et de différentes configurations d’enregistrement de données. Nous présentons une méthode originale qui transforme ces séries temporelles multi-variées afin qu'elles deviennent compatibles en termes de dimensionalité et de distributions statistiques.Nous illustrons les techniques citées ci-dessus en les appliquant à des signaux EEG enregistrés dans le cadre d’expériences d’interface cerveau-ordinateur (BCI). Nous montrons sur plusieurs exemples, avec des simulations et des données réelles, que la réduction de dimension - judicieusement choisie - de la série temporelle multi-variée n’affecte pas les performances de classifieurs statistiques utilisés pour déterminer la classe des signaux, et que notre méthode de transfert d'apprentissage et de compatibilité de dimensionalité apporte des améliorations remarquables en matière de classification inter-sessions et inter-sujets.Pour explorer les invariances présentées ci-dessus, nous nous appuyons sur l’utilisation de matrices Hermitiennes définies positives (HPD) afin de décrire les statistiques des séries temporelles multi-variées. Nous manipulons ces matrices en considérant qu’elles reposent dans une variété Riemannienne pour laquelle une métrique adéquate est choisie. Nous utilisons des concepts issus de la géométrie Riemannienne pour définir des notions telles que la distance géodésique, le centre de masse ou encore les classifieurs statistiques de séries temporelles. Cette approche repose sur les résultats fondamentaux de la géométrie différentielle pour les matrices Hermitiennes définies positives et est liée à d'autres domaines bien établis en mathématiques appliquées, tels que la géométrie de l'information et le traitement du signal