The discontinuous Galerkin finite element method for the solution of fluid-structure interaction problems

Cílem této práce je navrhnout a implementovat metodiku pro řešení úloh interakce tekutiny s tělesem (označované jako FSI) především pro aplikace v oblasti aeroelasticity, např. pro predikci flutteru. Jedním z hlavních požadavků na algoritmus FSI je vysoká úroveň modularity, což znamená, že řešiče pro tekutinu a strukturu by na sobě měly být nezávislé. Navíc předpokládáme, že výpočtové sítě pro oblast tekutiny a struktury na sebe nemusí navazovat. Z tohoto důvodu byl zvolen oddělený přístup řešení s možností volby slabé nebo silné vazby namísto přístupu monolitického. Velká část této práce je věnována modelování proudění stlačitelné tekutiny. Pro řešení Navierových-Stokesových rovnic v ALE formulaci je odvozeno implicitní schéma nespojité Galerkinovy metody. K aproximaci vazkých toků je použita metoda vnitřních penalty. Pro stabilizaci řešení je použita umělá vazkost, jejíž velikost je řízena senzorem rázových vln. Pro úlohy turbulentního proudění je uvažován Spalartův-Allmarasův model turbulence. Implementovaný CFD řešič je validován na několika testovacích úlohách proudění okolo stacionárních leteckých profilů a okolo leteckých profilů s předepsaným pohybem. V těchto úlohách uvažujeme jak proudění nevazké tekutiny, tak laminární i turbulentní proudění vazké tekutiny. Další uvažovanou úlohou je posouzení vzniku torzního flutteru v kaskádě lopatek pomocí energetické metody, která využívá jednosměrnou vazbu. Vyvinutý CFD řešič je validován pomocí experimentálního měření provedeného na Ústavu termomechaniky Akademie věd České republiky. Pro řešení úloh obousměrné vazby jsou uvažovány dva různé modely struktury a to soustava pružně uložených tuhých těles a elastická struktura s velkými deformacemi. Vyvinutý FSI řešič je validován na dvou úlohách interakce s tuhými tělesy, konkrétně na úloze kmitání válce v tekutině vynuceném vírovou stezkou a na úloze predikce flutteru křídla letadla. Výsledky jsou porovnány s numerickými a experimentálními daty jiných autorů. Pro případ tuhého tělesa je navržen nový efektivní algoritmus deformace sítě založený na řešení eliptické rovnice. Výhodou algoritmu je, že eliptická rovnice se řeší pro každé z tuhých těles před zahájením simulace FSI pouze jednou, čímž se ušetří výpočtový čas. Elastická struktura je popsána nelineárními rovnicemi elastodynamiky, které jsou řešeny metodou konečných prvků s implicitní integrací. Protože výpočtové sítě pro oblast tekutiny a struktury na jejich rozhraní nemusí navazovat, tenzor napjatosti je nutné interpolovat. Jak algoritmus deformace sítě, tak interpolace tenzoru napjatosti jsou založeny na radiálních bázových funkcích. Výhodou zmíněného algoritmu je, že zahrnuje i interpolaci výchylek struktury, které tak nemusí být interpolovány zvlášť.ObhájenoThe ultimate goal of this thesis is to design and implement a fluid-structure interaction (FSI) methodology mainly for applications in aeroelasticity, such as flutter prediction. One of the main requirements for the FSI algorithm is a high level of modularity, meaning that the fluid and structure solvers should be independent of each other and the corresponding meshes do not need to align on the fluid-solid interface. For this reason, the partitioned approach was adopted with the option of either weak or strong coupling. A lot of attention is given to the modelling of the fluid flow, as it tends to be the most complicated part of any FSI problem. In this thesis, an implicit discontinuous Galerkin scheme is derived for the solutions of compressible Navier-Stokes equations in the arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation. The interior penalty method is used to approximate viscous fluxes. Artificial viscosity is added to regions with a shock according to a fine-tuned shock sensor to stabilise the solution. The one-equation Spalart-Allmaras turbulence model is applied to problems with turbulent flow. To contend the computational requirement for the fluid-flow simulations, a domain decomposition method is employed for distributed computing. The implemented discontinuous Galerkin solver is benchmarked on a few test problems of flow around stationary aerofoils and aerofoils with prescribed motion. Both laminar and turbulent viscous flows and inviscid flows are considered. Furthermore, torsional flutter in a blade cascade is assessed using the energy method, which uses one-way coupling. The discontinuous Galerkin solver is validated on this problem against experimental measurement conducted at the Institute of Thermomechanics of the Czech Academy of Sciences. In order to solve two-way coupling problems, two different structure models are considered, specifically a system of elastically-mounted rigid bodies interconnected with springs and dampers and an elastic structure with large deformations. The FSI solver is validated on two problems of interaction with rigid bodies, namely on vortex-induce vibration of a cylinder and flutter prediction of a swept-back wing modelled as a two-degree-of-freedom aerofoil. A new efficient mesh-deformations algorithm based on solving an elliptic equation is proposed for the case of rigid structure. The advantage of the algorithm is that the elliptic equation is solved only once for each of the rigid bodies before the FSI simulation starts, thereby saving computational time during simulation. The elastic structure is described by nonlinear equations of elastodynamics, which are solved by an implicit finite-element scheme with Newton's iterative procedure. Since the fluid and structure meshes are mutually nonconforming on the fluid-solid interface, the aerodynamic stress is interpolated using radial basis functions. The mesh-deformation algorithm is also based on radial basis functions, the advantage of which is that it takes care of the interpolation of the structure's displacement on the fluid-solid interface