Multiphase geometric optics for hyperbolic systems of conservation laws

Cette thèse porte sur des développements d'optique géométrique multiphasée, pour des problèmes aux limites hyperboliques et quasi-linéaires, c'est-à-dire des développements asymptotiques de solutions approchées de ces systèmes, pour lesquels le terme de bord oscille à une fréquence élevée suivant plusieurs phases planes au bord. On se place dans un cadre faiblement non-linéaire, c'est-à-dire que le terme de bord est d'ordre O(?) quand les fréquences sont d'ordre O(1/?). Dans une première partie, on s'intéresse à un problème aux limites satisfaisant la condition de Kreiss- Lopatinskii uniforme, et l'on construit pour ce problème le premier terme d'un développement BKW pour la solution approchée. La multiplicité des fréquences au bord engendre, à l'intérieur du domaine, un nombre infini dénombrable de fréquences, nous contraignant à utiliser un cadre de fonctions presque-périodiques, ici au sens de Bohr. La principale difficulté de ce travail réside dans le défaut de symétrie dans le système vérifié par le profil principal, et l'occurence d'une infinité de résonances (à l'inverse du cas d'une seule phase étudié précédemment). Le profil principal est alors obtenu comme la solution d'un problème quasi-linéaire, qui est résolu à l'aide d'estimations a priori sans perte de dérivée. Les hypothèses de cette partie sont illustrées avec l'exemple des équations d'Euler compressibles isentropiques en dimension deux d'espace. La deuxième partie est consacrée à l'étude de l'instabilité de développements d'optique géométrique pour des problèmes aux limites faiblement stables, où le terme de forçage au bord subit une perturbation de petite amplitude, oscillant suivant une fréquence transversale. Puisque les fréquences au bord appartenant au lieu d'annulation du déterminant de Lopatinskii, les amplifications au bord donnent lieu à un système hautement couplé d'équations pour les profils. Un modèle jouet de ce système est résolu dans un cadre de fonctions analytiques, à l'aide du théorème de Cauchy-Kovalevskaya, et d'une version de celui-ci assurant l'analyticité en temps et en espace. On montre ensuite que, à travers les résonances et les amplifications, une configuration particulière de fréquences au bord peut donner lieu à une instabilité, c'est-à- dire que la petite perturbation au bord peut intervenir à l'ordre principal dans le développement asymptotique. On étudie enfin la possibilité qu'une telle configuration de fréquences au bord existe pour l'exemple des équations d'Euler compressibles isentropiques en dimension trois d'espace.This thesis deals with multiphase geometric optics expansions, for hyperbolic quasilinear boundary value problems, that is, asymptotic expansions of approximate solutions for these systems, for which the forcing boundary term oscillate at high frequency with multiple planar phases on the boundary. The framework is weakly nonlinear, namely the boundary term is of order O(?), when the frequencies are of order O(1/?). In a first part, interest is made on a boundary value problem satisfying the uniform Kreiss-Lopatinskii condition, and the first term of a WKB expansion is constructed for this problem. The multiple frequencies on the boundary generate a countable infinite number of phases inside the domain, and we therefore use an almost periodic functional framework, here in the sense of Bohr. The major difficulties of this work are the lack of symmetry in the leading profile equation and the occurrence of infinitely many resonances (opposite to the simple phase case studied earlier). The leading profile is constructed as the solution of a quasilinear problem, which is solved using a priori estimates without loss of derivatives. The assumptions of this work are illustrated with the example of isentropic Euler equations in space dimension two. The second part is devoted to the study of instabilities for geometric optics expansions of weakly stable problems, where the forcing boundary term is perturbated by a small amplitude oscillating function, of transverse frequency. Since the boundary frequencies lie in the locus where the Lopatinskii determinant is zero, the amplifications on the boundary give rise to a highly coupled system of equations for the profiles. A toy model of this system is solved in an analytical framework, using the Cauchy-Kovalevskaya theorem as well as a version of it ensuring analyticity in space and time for the solution. Then it is proven that, through resonances and amplification, a particular configuration for the phases may create an instability, in the sense that the small perturbation on the boundary may interfere at the leading order in the asymptotic expansion. Finally we study the possibility for such a configuration of frequencies to happen for the isentropic Euler equations in space dimension three