Formal perturbations and structural properties of uncertain linear systems

La réalité physique d'un système est toujours complexe, et dans le cas où elle peut être représentée par des équations dynamiques, celles-ci sont soumises à des paramètres dont la valeur est souvent mal connue ou évolue dans le temps. La plupart des méthodes d'analyse des systèmes assurant de bonnes propriétés sont basées sur l'exploitation d'un modèle mathématique. Ce dernier peut être issu, en général, d'équations physiques (systèmes d'équations différentielles) reflétant notre compréhension des mécanismes mis en jeu. Cependant, un système physique ne pourra jamais être exactement modélisé par un modèle mathématique et nous avons toujours des incertitudes sur le comportement du système physique. Ces incertitudes sont d'origines multiples, on peut notamment citer: des incertitudes sur la valeur des paramètres physiques dans les équations différentielles du modèle (incertitudes paramétriques), des dynamiques connues mais qui sont volontairement négligées dans l'écriture du modèle afin de le simplifier (incertitudes dynamiques)...etc. Comme le modèle mathématique ne peut pas être une représentation parfaite et totalement fidèle de la réalité, nous sommes amenés à chercher des moyens non seulement pour incorporer ces incertitudes dans le modèle mais aussi pour aborder la notion de robustesse vis-à-vis de ces incertitudes. Il est donc avantageux de trouver un moyen d'intégrer ces incertitudes dans le modèle. La littérature propose différents modèles de systèmes incertains tels que : la modélisation polytopique, affine, LFT...etc. Dans ce travail nous proposons des approches basées sur les polynômes ou séries formelles à un ou plusieurs paramètres. Cette thèse est une contribution à la modélisation et l'étude des propriétés structurelles des systèmes dynamiques linéaires incertains modélisés par des perturbations algébriques formelles. Notre objectif est d'utiliser les perturbations ou déformations formelles sans contraintes pour modéliser les incertitudes et étudier les systèmes incertains qui en découlent. À cette fin, des approches ont été développées, une approche analytique pour l'atteignabilité et l'observabilité des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) donnés avec des perturbations polynomiales à une indéterminée et une approche algébrique de la contrôlabilité et de l'observabilité d'une classe de systèmes LTI incertains donnée par des perturbations multiparamétriques formelles. Par ailleurs, nous avons exploré l'aspect théorique et les propriétés algébriques des transformations fractionnaires linéaires LFT. On s'est intéressé en particulier à des opérations et leur structures sur les LFT. On a également établie une intégration LFT dans le cadre d'incertitudes formelles examinées, ce qui permet par la suite de les adapter dans différents problèmes d'automatique tels que la pratique de la commande robuste.The physical reality of a system is always complex, and in the case where it can be represented by dynamic equations, these are subject to parameters whose value is often poorly known or evolves over time. Most methods of analyzing systems with good properties are based on the use of a mathematical model. The latter can be derived, in general, from physical equations (systems of differential equations) reflecting our understanding of the mechanisms involved. However, a physical system can never be exactly modeled by a mathematical model and we always have uncertainties about the behaviour of the physical system. These uncertainties have many origins, including: uncertainties about the value of the physical parameters in the differential equations of the model (parametric uncertainties), known dynamics which are deliberately neglected in the writing of the model in order to simplify it (dynamic uncertainties)..etc.As the mathematical model cannot be a perfect and totally faithful representation of reality, we are led to look for ways not only to incorporate these uncertainties into the model but also to address the notion of robustness to these uncertainties. It is therefore advantageous to find a way to incorporate these uncertainties into the model. The literature proposes different models of uncertain systems such as: polytopic modeling, affine modeling, LFT...etc. We propose in this work an approach based on polynomials or formal power series with one or more parameters. This thesis aim to provide a contribution to the modeling and study of the structural properties of uncertain linear dynamical systems modeled by formal algebraic perturbations. Our objective is to use formal unconstrained perturbations or deformations to model uncertainties and to study the resulting uncertain systems. For this purpose, approaches have been developed, an analytical approach to the reachability and observability of linear time-invariant (LTI) systems given with one-indeterminate polynomial perturbations and an algebraic approach to the controllability and observability of a class of uncertain LTI systems given by formal multiparameter perturbations. Moreover, we investigated theoretical aspects and algebraic properties of linear fractional LFT transformations. In particular, we are interested in operations and their structures on LFTs. We also established an LFT integration within the framework of the formal uncertainties examined, which allows us to adapt them to different problems in automatic control, such as the practice of robust control