Gravité quantique comme théorie des champs de géométries discrètes

La formulation de Plebanski de la relativité générale montre que la gravité en quatre dimensions peut être étudiée comme un modèle topologique contraint. Cela a conduit à la mise au point d'une partie de la gravité quantique communauté vers les théorie topologiques (quantiques) des champs. Dans ce contexte, des modèles de somme d'états sont utilisés pour décrire des variétés invariantes. Les états de la théorie quantique sont des décompositions cellulaires d'une variété et la fonction de partition est une somme sur de telles géométries discrètes. Dans cette thèse, je traite différentes approches de la gravité quantique basées sur la description de géométries discrètes avec des modèles de somme d'états. Dans la première part de ma thèse, je résume brièvement les modèles matriciels, les modèles tensoriels et le modèle SYK. Le modèle matriciel s'agit d'une formulation d'intégrale de chemin dont les champs fondamentaux sont des matrices. Les diagrammes de Feynman sont des cartes planaires interprétées comme des graphes dual aux 2d discrètes géométries. La fonction de partition des modèles matriciels a été exprimée comme une somme sur les topologies 2d dont l'expansion est dominée par les riangulations de la sphère. Le grand succès des modèles matriciels a suggéré la description de la gravité quantique dans des dimensions supérieures avec des tenseurs. Cependant, contrairement aux modèles matriciels, la fonction de partition des tenseurs aléatoires s'est avérée être dominée par des graphes assez simples qui ne codent pas les degrés de liberté gravitationnels appropriés. Toutefois, les modèles tensoriels ont jeté les bases des théories des champs de groupe et ont joué un rôle de premier plan dans l'étude du modèle Sachdev-Ye-Kitaev. Il s'agit d'une théorie quantique des champs 1d qui décris l'interaction d'un nombre arbitraire de fermions couplés par un tenseur aléatoire. En ce sens, le modèle SYK est un exemple de système quantique à plusieurs corps, avec une interaction chaotique non locale. Le modèle SYK attire encore plus l'attention en tant que modèle de jouet unidimensionnel pour la dualité AdS/CFT. Je discute de la généralisation d'un modèle SYK où les couplages obéissent à une distribution non-gaussienne. Je prouve l'universalité gaussienne et donne la action effective du modèle. La deuxième part est consacrée aux théories des champs de groupe. Boulatov a proposé une théorie qui vise à récupérer les graphes générés par le modèle de Ponzano-Regge (réseaux de spins) comme diagrammes de Feynman d'une théorie des champs. Le modèle a été appelé théorie des champs de groupe et a ensuite été généralisé en quatre dimensions. Les théories des champs de groupe peuvent être interprété comme la deuxième description quantifiée d'un système quantique à plusieurs corps où les états sont les éléments constitutifs d'une géométrie discrète; la fonction de partition est étendue en tant que somme sur les amplitudes de tels états (mousses de spin) qui sont associées au spectre d'un groupe G donné. Je passe d'abord brièvement en revue les ingrédients essentiels du modèle, puis je propose deux nouvelles généralisations. La première est basée sur les algèbres de Hopf et vise à décrire toute théorie de champ de groupe possible associée à un espace des phases où à la fois la configuration et les espaces de quantité de mouvement sont courbes et non commutatifs. La deuxième généralisation est plutôt basée sur les 2-groupes. Dans cette partie, je donnerai d'abord quelques arguments selon lesquels 2-groupes sont nécessaires pour décrire des variétés à quatre dimensions; je discuterai de la construction d'un espace des phases décoré par des éléments à 2 groupes puis j'appliquerai ce résultat pour construire la théorie des champs de groupes associée, exprimant la fonction de partition sous la forme d'une somme d'états.The Plebanski formulation of general relativity indeed shows that four dimensional gravity can be studied as a constrained topological model. This led the focus of part of the quantum gravity community towards topological (quantum) field theories. In this context, state sum models are used to describe invariant manifolds. The states of the quantum theory are (topologicallyequivalent) cellular decompositions of a manifold and the partition function is a sum over such discrete geometries.In this thesis I discuss different approaches to quantum gravity, all based on the description of discrete geometries using state sum models.In the first part of my thesis I briefly summarize matrix models, tensor models and the SYK model. One of the most successful theory that treats gravity as a model of discrete geometries is the matrix model. This is a path integral formulation whose fundamental fields are matrices. The Feynman diagrams are planar maps interpreted as the graphs dual to 2d geometries. The partition function of matrix models was thus expressed as a sum over the 2d topologies whose expansion is dominated by triangulations of the sphere. The great success of matrix models suggested the description of quantum gravity in higher dimensions using tensors. However, differently from matrix models, the partition function of random tensors turned out to be dominated by rather simple graphs which do not encode the proper gravitational degrees of freedom. Nevertheless, tensor models laid the foundations of tensorial group field theories and played a prominent role in the study of the Sachdev-Ye-Kitaev model. This is a 1d quantum field theory that describes the interaction of an arbitrary number of fermions coupled by a random tensor. In this sense the SYK model is an example of a many body quantum system, with a non-local chaotic interaction. The SYK model gather even more attention as a one dimensional toy modelfor the AdS/CFT duality.I discuss the generalization of an SYK model where the couplings obey to a non-Gaussian distribution. I prove the Gaussian universality and provide the effective action of the model, showing the effects of the non-Gaussianity as a modification of the covariance.The second part is dedicated to group field theories. The first examples of state sum model for 3d Euclidean manifolds, was the Ponzano-Regge model. In this case, the states are based on representations of the SU(2) group, used as decorations of geometric objects in the triangulated manifold. Boulatov proposed a theory that aims to recover the graphs generated by the Ponzano-Regge model (spin networks) as the Feynman diagrams of a field theory. The model was called group field theory and was later generalized in four dimensions. Group field theories can be interpreted as the second quantized description of a many body quantum system where the states are the building blocks of a discrete geometry; the partition function is expanded as a sum over the amplitudes of such states (spin foams) which are associated to the spectrum of a given group G. I first provide a short review of the essential ingredients of the model, and thenI propose two new generalizations. The first is based on Hopf algebras and aims to describe any possible group field theory associated to a phase space where both the configuration and momentum spaces are curved and non-commutative. The second generalization is instead based on 2-groups. In this part I first a few arguments according to which 2-groups are needed to describe four dimensional manifolds; then I discuss the construction of a phase space decorated by 2-group elements and then I apply this result to construct the associated group field theory, expressing the partition function as a state sum