Comportement asymptotique des solutions du modèle de temps écoulé pour les assemblages neuronaux

Le modèle du temps écoulé a été largement étudié dans le contexte des neurosciences mathématiques avec de nombreuses questions ouvertes. Le modèle consiste en une équation structurée par âge qui décrit la dynamique des neurones en interaction décrite par leur période réfractaire, c'est-à-dire le temps écoulé depuis leur dernière décharge. Nous étudions les réseaux faiblement connectés où des outils mathématiques tels que la méthode Entropy et la théorie de Doeblin se sont avérés être des méthodes utiles pour prouver la convergence vers l'état stationnaire, et les réseaux hautement connectés conduisant à de fortes non-linéarités où les méthodes de perturbation classiques ne s'appliquent pas. De plus, nous étudions des extensions du modèle de temps écoulé en incorporant de nouvelles variables telles que le temps écoulé depuis l'avant-dernière décharge pour mieux comprendre la dépendance à l'historique des pics précédents. Nous incorporons également la dépendance spatiale et les processus d'apprentissage via le changement des interconnexions représentées par le noyau de connectivité. Pour chaque modèle, nous présentons des simulations numériques pour observer comment les paramètres du système peuvent donner différents comportements et formations de motifs afin de les contraster avec les résultats théoriques.The elapsed time model has been widely studied in the context of mathematical neuroscience with many open questions left. The model consists of an age-structured equation that describes the dynamics of interacting neurons described by their refractory period, i.e. the elapsed time since their last discharge. We study weakly connected networks where mathematical tools such as the Entropy method and Doeblin's theory have proved to be useful methods in proving convergence to steady state, and highly connected networks leading to strong nonlinearities where classical perturbation methods do not apply. Moreover, we study extensions of the elapsed time model by incorporating new variables such as the elapsed time since penultimate discharge to have a further understanding of the dependence on the previous spike history. We also incorporate the spatial dependence and learning processes via the change in the interconnections represented by connectivity kernel. For each model we present some numerical simulations to observe how the parameters of the system can give different behaviors and pattern formations in order to contrast them with the theoretical results