Théorèmes Limites en mesure infinie : auto-intersections et flots perturbés moyennés

This PhD thesis deals with the stochastic properties of dynamical systems in infinite measure and more precisely of Z-extensions over a chaotic dynamical system. This work is motivated by the study of the Z-periodic Lorentz gas (in finite horizon) and the geodesic flow on a Z-cover of a compact negatively curved surface. This thesis consists of three parts.The first general part presents the background and the main results obtained, introduces the models considered as well as different tools and notions. The second part is devoted to the study of the asymptotic behavior of the number of self-intersections of trajectories.The main result of this part is a limit theorem established in the general framework of Z-extensions verifying natural hypotheses, this result is applied to the two models mentioned above (Lorentz gas and geodesic flow). This second part contains other results related to the number of self-intersections, in particular the study of the random pinball in the Z-periodic Lorentz gas, a new approach to the study of the number of self-intersections in the case of ergodic systems preserving a probability measure as well as the study of the number of self-intersections in the case of non recurrent extensions (in particular in dimension greater than or equal to 3). The third and last part of this thesis deals with the study of the solutions of differential equations perturbed by a Z-extension in the following two cases: on the one hand in the case where the differential equation is given by an integrable function (with respect to the measure of the dynamical system) and on the other hand in the case where the differential equation is obtained by adding to a vector field a zero integral function.Cette thèse de doctorat porte sur les propriétés stochastiques de systèmes dynamiques en mesure infinie et plus précisément de Z-extensions au-dessus d’un système dynamique chaotique. Ce travail est motivé par l’étude du gaz de Lorentz Z-périodique (en horizon fini) et du flot géodésique sur un Z-revêtement de surface compacte de courbure strictement négative. Cette thèse comporte trois parties. La première partie générale présente le contexte et les principaux résultats obtenus, introduit les modèles considérés ainsi que différents outils et notions. La seconde partie est consacrée à l’étude du comportement asymptotique du nombre d’auto-intersections des trajectoires. Le résultat principal de cette partie est un théorème limite établi dans le cadre général de Z-extensions vérifiant des hypothèses naturelles, ce résultat est applique aux deux modèles mentionnés ci-dessus (gaz de Lorentz et flot géodésique). Cette seconde partie contient d’autres résultats en lien avec le nombre d’auto-intersections, notamment l’étude du flipper aléatoire dans le gaz de Lorentz Z-périodique, une nouvelle approche de l’étude du nombre d’auto-intersections dans le cas de systèmes ergodiques préservant une mesure de probabilité ainsi que l’étude du nombre d’auto-intersections dans le cas d’extensions non récurrentes (notamment en dimension supérieure ou égale à 3). La troisième et dernière partie de cette thèse porte sur l’étude des solutions d’équations différentielles perturbées par une Z-extension dans les deux cas suivants : d’une part dans le cas où l’équation différentielle est donnée par une fonction intégrable (par rapport à la mesure du système dynamique) et d’autre part dans le cas où l’équation différentielle est obtenue en ajoutant à un champ de vecteur une fonction d’intégrale nulle