Algorithmes d'approximation stochastique pour l'estimation des fonctionnelles multivariées avec applications dans les domaines médical et cognitif.

Multivariate recursive estimation is the central focus of this thesis. Our basic objective is to construct multivariate functional estimators using stochastic approximations methods. In the opening section, we provide a general introduction of non-parametric estimation topic and the original recursive stochastic approximation algorithm. In the first chapter, we introduce a multivariate recursive estimator for the distribution function. We study the asymptotic properties of this generalized estimator and we compare it with non-recursive Nadaraya's multivariate distribution estimator.It turns out that, with an adequate choice of the stepsize and an appropriate choice of the bandwidth, the MSE (Mean Squared Error) of the multivariate estimator with plug-in bandwidth selection method can be smaller than the two other estimators, namely the multivariate recursive one with cross-validation selection and the non-recursive one of Nadaraya's estimator.The second chapter deals with non-parametric estimation of a conditional cumulative distribution function (CCDF) $\pi: (y|x)\longmapsto\mathbb{P}\left[Y\leqslant y|X=x\right].$ Using the same recursive approach, we suggest a multivariate recursive estimator defined by stochastic approximation algorithm. We investigate the statistical inferences of our estimator and compare them with those of non-recursive Nadaraya-Watson's estimator. Given the idea of conditional estimation, and for the third chapter, we construct a generalized semi-recursive kernel-type estimator of the regression function $ r_{\varphi}: x \longmapsto \mathbb{E}[\varphi(Y) | X = x],$ for a chosen measurable function $\varphi$ and $x\in \rr^d$. In order to examine the asymptotic properties of this estimator, we first calculate the bias and the variance of our proposed estimator which strongly depend on the choice of three parameters which are the stepsizes and the bandwidth. Moreover, we are interested in studying the strong pointwise convergence rate of our estimator. It turns out that under the estimation byconfidence intervals, the proposed estimator is better than that of the non-recursive Nadaraya Watson regression one. As far as the fourth chapter is concerned, we attempt to explore cognitive processes and mental representations enacted when a human being prepares to write a word according to the idea developed in~\cite{perreto19}. For this objective, we set forward a non-parametric multivariate recursive kernel regression estimation under missing data to describe writing word production. We examine the asymptotic properties of our recursive estimator and its performance against the non-recursive one. As application, the proposed estimator is then applied to the behavioral data to classify some participants in groups. This classification can be a departure point to understand written behavior variations. The closing section is devoted for the conclusion part as well as some perspectives for future researches.\\L'estimation récursive multivariée est le point central de cette thèse. Notre objectif fondamental est de construire des estimateurs des fonctionnelles multivariées en utilisant des méthodes d'approximations stochastiques. Dans la section d'ouverture, nous fournissons une introduction générale du sujet de l'estimation non-paramétrique et de l'algorithme original d'approximation stochastique récursive. Pour le premier chapitre, nous introduisons un estimateur récursif multivarié pour la fonction de répartition. Nous étudions les propriétés asymptotiques de cet estimateur généralisé et nous le comparons avec l'estimateur multivarié non récursif de Nadaraya.Il s'avère qu'avec un choix adéquat de la taille des pas et un choix approprié de la fenêtre, l'erreur quadratique moyenne MSE (Mean Squared Error en anglais) de l'estimateur multivarié avec plug-in comme méthode de sélection de la fenêtre est plus petite que celle des deux autres estimateurs, à savoir l'estimateur multivarié récursif avec sélection par validation croisée et l'estimateur non récursif de Nadaraya.Le deuxième chapitre traite le problème de l'estimation non paramétrique d'une fonction de répartition cumulative conditionnelle $\pi : (y|x)\longmapsto\mathbb{P}\left[Y\leqslant y|X=x\right].$ En utilisant la même approche récursive, nous proposons un estimateur récursif multivarié défini par un algorithme d'approximation stochastique. Nous étudions les inférences statistiques de notre estimateur et les comparons avec celles de l'estimateur non récursif de Nadaraya-Watson. Étant donné l'idée d'estimation conditionnelle, et pour le troisième chapitre, nous construisons un estimateur semi-récursif généralisé de type noyau de la fonction de régression $ r_{\varphi} : x \longmapsto \mathbb{E}[\varphi(Y) | X = x],$ pour une fonction mesurable choisie $\varphi$ et $x\in \rr^d$.Afin d'examiner ces propriétés asymptotiques, nous calculons d'abord le biais et la variance de notre estimateur proposé qui dépendent fortement du choix de trois paramètres qui sont les pas et la fenêtre. De plus, nous sommes intéressés par l'étude de la convergence forte de notre estimateur. Il s'avère que pour l'estimation parintervalles de confiance, l'estimateur proposé est meilleur que celui de l'estimateur de Nadaraya Watson. En ce qui concerne le quatrième chapitre, nous tentons d'explorer les processus cognitif et les représentations mentales mobilisées lorsqu'un être humain se prépare à écrire un mot selon l'idée développée dans~\cite{perreto19}. Dans cette perspective, nous proposons une estimation non paramétrique à noyau récursif d'une régression multivariée avec données manquantes pour décrire la production de mots d'écriture. Nous étudions les propriétés asymptotiques de notre estimateur récursif et ses performances par rapport à l'estimateur non récursif. L'estimateur proposé est ensuite appliqué aux données comportementales pour classer certains participants dans des groupes. Cette classification peut être un début pour comprendre les variations de comportement écrites. La dernière section est consacré à la partie conclusion ainsi qu'à quelques perspectives de future recherches.\