Probabilistic approaches for nonlinear Schrödinger equations

The purpose of this thesis is to study nonlinear Schrödinger equations with random initial data, in singular regimes. The nonlinear Schrödinger equations are involved in many wave models to describe the envelope of a rapidly oscillating wave packet. The statistical study of these nonlinear waves in singular regimes is motivated by the presence of instabilities that compromise the analysis of individual trajectories. In a first part, we establish the existence of two types of initial data: statistical data, which give rise to strong solutions, and pathological data, which are instantaneously unstable. These two types of initial data are generic, respectively in the sense of measure theory and topology. In a second part, analytical methods are combined with the probabilistic approach to describe the long-time behavior of the statistical data, as well as the stability of nonlinear dynamics under random perturbations. Finally, a third part is devoted to the development of quasilinear iterative schemes in a probabilistic context. These schemes exploit the statistical information of the initial data and allow the analysis of weakly dispersive equations in singular regimes. The third part concludes with a premise for the problem of invariance of the Gibbs measure for the cubic Schrödinger equation on the sphere. A singular interaction is isolated, which allows the future implementation of a quasilinear scheme adapted to this problem.Cette thèse a pour objet l'étude d'équations de Schrödinger non-linéaires avec des données initiales aléatoires, dans des régimes singuliers. Les équations de Schrödinger non-linéaires interviennent dans de nombreux modèles ondulatoires pour décrire l'enveloppe d'un paquet d'ondes qui oscillent rapidement. Quant à elle, l'étude statistique de ces ondes non-linéaires dans des régimes singuliers est motivée par la présence d'instabilités qui compromettent l'analyse des trajectoires individuelles.Dans une première partie, on établit l'existence de deux types de données initiales : les données statistiques, qui donnent lieu à des solutions fortes, et les données pathologiques qui sont instantanément instables. Ces deux types de données initiales sont génériques, respectivement au sens de la mesure et de la topologie. Dans une seconde partie, des méthodes d'analyse sont combinées avec l'approche probabiliste pour décrire le comportement en temps long des données statistiques, ainsi que la stabilité de dynamiques non-linéaires sous l'effet de perturbations aléatoires. Enfin, une troisième partie est consacrée au développement de schémas itératifs quasi-linéaires dans un contexte probabiliste. Ces schémas exploitent l'information statistique des données initiales, et permettent l'analyse d'équations faiblement dispersives dans des régimes singuliers. La troisième partie se conclut par une prémisse au problème de l'invariance de la mesure de Gibbs pour l'équation de Schrödinger cubique sur la sphère. Une interaction singulière est isolée, ce qui permet la mise en place future d'un schéma quasi-linéaire adapté à ce problème