Représentations induites des groupes quantiques localement compacts dans le formalisme bornologique

In the first part of this thesis, we continue the development of bornological quantum groups, introduced by Voigt. We add the hypothesis of *-involution to its original definition and then we show in a second part that such a bornological quantum group gives rise to a locally compact quantum group in the sense of Kustermans & Vaes. For this we use a method similar to the one used by Van Daele and Kustermans in the case of algebraic quantum groups. Then we develop a general theory of induction of unitary representations for boundological quantum groups, generalizing the original work of Rieffel on locally compact groups. We then show that our induction functor coincides, in the bornological framework, with the (more general) one developed by Vaes. Finally, we apply our induction method to the special case of complex semisimple quantum groups. We first show that the parabolically induced representations given by our method coincide with the ad hoc definition, due to Arano. Then we construct a homogeneous space, similar to the one found in the works of Clare, Crisp & Higson, in order to present the theory of parabolically induced representations of a semisimple quantum group in a geometric way, leading to a reformulation of results of Monk & Voigt.Dans la première partie de cette thèse, on poursuit le développement des groupes quantiques bornologiques, introduits par Voigt. On ajoute l’hypothèse d’une *-involution à sa définition d’origine puis on montre dans un second temps qu’un tel groupe quantique bornologique donne lieu à un groupe quantique localement compact au sens de Kustermans & Vaes. Pour cela on utilise une méthode similaire à celle employée par Van Daele et Kustermans dans le cas des groupes quantiques algébriques. Suite à cela on développe pour les groupes quantiques bornologiques une théorie générale d’induction des représentations unitaires, généralisant le travail originel de Rieffel sur les groupes localement compact. On montre en suite que notre foncteur d’induction coïncide, dans le cadre bornologique, avec celui (plus général), développé par Vaes. Enfin, on applique notre méthode d’induction au cas particulier des groupes quantiques semi-simples complexe. On montre d’abord que les représentations paraboliquement induites données par notre méthode coïncide avec la définition ad hoc, due à Arano. Puis on construit un espace homogène, similaire à celui que l’on retrouve dans les travaux de Clare, Crisp & Higson, dans le but de présenter la théorie des représentations paraboliquement induites d’un groupe quantique semi-simple de façon géométrique, conduisant à une reformulation des résultats de Monk & Voigt