Efficient Solvers for Steady and Unsteady High-Order Compressible Flow Simulations

This dissertation presents efficient solution techniques for fluid flow simulations focused on aeronautical applications. Thus, compressible Navier-Stokes (NS) and Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS) equations are considered. The method of choice for spatial discretization is Discontinuous Galerkin Spectral Element Method (DGSEM). However, most of the considered techniques can find an application for other types of Computational Fluid Dynamics (CFD) simulations (incompressible formulation or multi-phase flows) and can be used with other type of high-order formulations, e.g.: Discontinuous Galerkin or Flux Reconstruction. CFD solvers can be accelerated either by enhancing spatial discretization or by improving temporal discretization. The first can be done by, e.g. decreasing the number of degrees of freedom (DOF), which will result in faster convergence for any chosen timemarching scheme, while the second via, e.g. decreasing the number of iterations such that any given problem will converge more rapidly regardless of the inherent DOF. Throughout this thesis, novel, and improved techniques for both temporal and spatial discretizations are introduced. Strategies for temporal discretization are divided into methods for steady-state and time-accurate simulations, both focusing on the preconditioning of the iterative solvers. For the steady-state part, we present different efficient p-multigrid techniques targeting different high-performance computing (HPC) architectures: explicit p-multigrid solver with low memory footprint and semi-implicit p-multigrid with with fast convergence rate. Both with complete compatibility with shared and distributed memory computations. For the time-accurate solvers, we compare classic implicit strategies for the full Jacobian system and statically condensed system for Gauss-Lobatto Discontinuous Galerkin Spectral Element Method (GL-DGSEM). The statically condensed system shows computational savings, which relate to the smaller system size and cheaper block-Jacobi preconditioner with smaller blocks and better polynomial scaling, when compared to the preconditioned full Jacobian system. For the spatial discretization, we focus on the static p-adaptation techniques. We present an example of p-adaptation for an airfoil and we show that the steady-state multigrid solvers considered in this dissertation are perfectly suitable for p-nonconforming discretizations. Moreover, we show a novel error estimation method needed for automatic mesh adaptation techniques. We provide closure to an open issue in the literature of truncation error–based adaptation, which is how to select an appropriate threshold for the truncation error. Relating the truncation threshold to functional errors, we are able to provide physical meaning (functional error) to the truncation error threshold. This approach enables a cheap, goal-oriented 3-step truncation error adaptation technique. Unlike other techniques presented in this dissertation, the 3-step truncation error method is general and can be applied to any numerical technique (e.g., finite volumes using classical h-adaptation). RESUMEN Esta tesis presenta técnicas de resolución eficientes para simulaciones de mecánica de fluidos centradas en aplicaciones aeronáuticas. Los modelos físicos utilizados serán las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes (NS) y las ecuaciones de Navier- Stokes promediado por Reynolds (RANS). El método de elección para la discretización espacial es el Método de Elementos Espectrales de Galerkin Discontinuo (DGSEM). Sin embargo, la mayoría de las técnicas consideradas pueden encontrar una aplicación para otros tipos de simulaciones de Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) (por ejemplo, formulación incompresible o flujos multifásicos) y pueden ser utilizadas con otro tipo de formulaciones de alto orden, por ejemplo: Galerkin discontinuo o Reconstrucción de flujos. Los solucionadores de CFD pueden acelerarse mejorando la discretización espacial o la discretización temporal. Lo primero puede hacerse, por ejemplo, disminuyendo el número de grados de libertad (DOF), lo que se traducirá en una convergencia más rápida para cualquier esquema de marcha temporal elegido, mientras que lo segundo mediante, por ejemplo, la disminución del número de iteraciones de manera que cualquier problema dado converja más rápidamente independientemente de los DOF utilizados. A lo largo de esta tesis, se introducen técnicas novedosas y mejoradas para las discretizaciones temporales y espaciales. Las estrategias para la discretización temporal se dividen en métodos para simulaciones estacionarias y transitorias, ambos centrados en el precondicionamiento de los solucionadores iterativos. Para las soluciones estacionarias, presentamos diferentes técnicas eficientes de p-multigrid dirigidas a diferentes arquitecturas de computación de alto rendimiento (HPC): solucionador de p-multigrid explícito con baja huella de memoria y p-multigrid semi-implícito con rápida tasa de convergencia. Ambos son totalmente compatibles con los cálculos en memoria compartida y distribuida. Para los solucionadores transitorios (con alta precisión temporal), comparamos las estrategias implícitas clásicas para el sistema jacobiano completo y el sistema condensado estáticamente para el método de elementos espectrales de Gauss-Lobatto (GL-DGSEM). El sistema condensado estáticamente muestra un ahorro computacional, que se relaciona con el menor tamaño del sistema y con un precondicionador de bloque-Jacobi más barato con bloques más pequeños y un mejor escalado de polinomios, cuando se compara con el sistema jacobiano completo precondicionado. Para la discretización espacial, nos centramos en las técnicas estáticas de p-adaptación. Presentamos un ejemplo de adaptación p para un avión y mostramos que los solucionadores multigrid en estado estacionario considerados en esta tesis son perfectamente adecuados para discretizaciones p-no conformes. Además, mostramos un nuevo método de estimación de errores necesario para las técnicas de adaptación automática de mallas. Aportamos un cierre a una cuestión abierta en la literatura de la adaptación basada en el error de truncación, que es cómo seleccionar un umbral apropiado para el error de truncación. Relacionando el umbral de truncación a los errores funcionales, somos capaces de proporcionar un significado físico (error funcional) al umbral de error de truncación. Este enfoque permite una técnica de adaptación del error de truncación de 3 pasos, barata y orientada a los objetivos. A diferencia de otras técnicas presentadas en esta disertación, el método de error de truncación en 3 pasos es general y puede aplicarse a cualquier técnica numérica (por ejemplo, volúmenes finitos utilizando la clásica adaptación h)