Problème inverse I : imagerie mathématique qualitative ultrasonore des matériaux

La détection et la localisation de défauts dans des matériaux est une problématique majeure dans les domaines du contrôle non destructif et du contrôle de santé intégré. Dans ce travail, notre objectif est de cartographier un milieu donné à l'aide des techniques d'inspection ultrasonores actives. Nous concevons ce problème d'imagerie comme un problème inverse. D’une part, nous représentons le système physique par un modèle mathématique bien posé, impliquant l’usage d’équations aux dérivées partielles et de conditions limites, et/ou initiales appropriées. Tous les détails nécessaires à l'approximation numérique de la solution du problème direct étant connus, le but est de trouver la réponse du système à des sources d'insonification données. D’autre part, nous ramenons ce problème inverse à un problème d'optimisation sous contraintes, où nous usons de la Fonction Coût (FC), pour minimiser l'écart entre les mesures et les prédictions issues du problème direct. La direction de recherche de l'inconnu, à savoir la position du défaut, repose sur la première condition d'optimalité de la FC. Ce schéma de minimisation de type « gradient » permet d'obtenir la Condition d’Imagerie (CI) du milieu inspecté. Pour calculer le gradient de la FC, nous adoptons l’inversion des formes d’ondes complètes (ou FWI pour Full-Waveform Inversion) en régime temporel, qui utilise la méthode de l'état adjoint. Notons que cette adaptation de la FWI à une expérience d’inspection ultrasonore en transmission, est faite sans se soucier de la régularisation du problème inverse, mal posé au sens d'Hadamard. Nos résultats démontrent que dans ces conditions, la CI permet de refléter la position des défauts dans le milieu d’intérêt, tout en affichant quelques artéfacts intrinsèquement liés à la CI. En vue de remédier à ces problèmes d’artéfacts, nous définissons de nouvelles contraintes d’optimisation qui tirent profit de la géométrie du dispositif d’acquisition des données