Eigenvalues of a square matrix

Ovaj diplomski rad posvećen je svojstvenim vrijednostima linearnih operatora. Diplomski rad je podijeljen na četiri poglavlja. Prvo poglavlje sadrži podsjetnik na osnovne pojmove poput pojma linearnog operatora i kvadratne matrice te veze između ta dva pojma. U tom poglavlju navedene su i definicije svojstvenih vrijednosti linearnog operatora i spektra te primjeri istih od kojih se posebno ističu operatori zrcaljenja. Također je opisan postupak pronalaženja svojstvenih vrijednosti te je iskazan i dokazan teorem za nužan i dovoljan uvjet da je skalar tražena svojstvena vrijednost. Naveden je i primjer operatora koji nema svojstvene vrijednosti. Drugo poglavlje posvećeno je nužnim i dovoljnim uvjetima za dijagonalizaciju operatora. Navodimo definicije svojstvenog potprostora, geometrijske i algebarske kratnosti. Dijagonalna matrica praktičan je oblik matrice iz kojeg možemo odrediti mnoge korisne informacije, međutim to se ponekad ne može napraviti. Dio drugog poglavlja posvećen je upravo takvim matricama. Navodimo i opisujemo postupak određivanja elegantnog oblika matrice koji nazivamo Jordanova forma matrice. U trećem poglavlju bavimo se odredivanjem približne lokacije svojstvenih vrijednosti linearnih operatora kada ih je zahtjevnije pronaći postupkom opisanim u prethodnim poglavljima. Definiramo Geršgorinove krugove te navodimo i dokazujemo Geršgorinov teorem koji je primijenjen i na konkretnim primjerima. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori imaju veliku primjenu u raznim fizikalnim područjima poput kvantne mehanike gdje se često koriste prilikom opisivanja valnih funkcija i operatora spina. Vrlo često svojstvenim vektorima opisane su neke vrste naboja čestice (u fizikalnom smislu). U zadnjem, četvrtom poglavlju navodimo zanimljivu primjenu svojstvenih vrijednosti na internetskoj tražilici. Formiramo ”mali internet” na kojem pokazujemo kako funkcionira tako zvani PageRank algoritam po kojem funkcionira najpoznatija internetska tražilica Google. Sukladno tome, konstruiramo matricu koju nazivamo Google matrica te opisujemo njena svojstva.This graduate thesis is dedicated to the eigenvalues of the matrix representation of linear operators. The thesis is divided into four chapters. The first chapter contains a reminder of basic concepts such as the concept of linear operator and square matrix and the connection between these two concepts. In the same chapter, the definitions of the eigenvalues of the linear operator and its spectrum are given, as well as examples of the same, of which the mirroring operators stand out in particular. The procedure for finding eigenvalues is also described, and the theorem for the necessary and sufficient condition that a scalar is the desired eigenvalue is stated and proved. There is also an example of an operator that has no eigenvalues. The second chapter is devoted to the necessary and sufficient conditions for the diagonalization of operators. We list the definitions of eigen subspace, geometric and algebraic multiplicity. A diagonal matrix is a practical form of matrix from which we can determine many useful information, but sometimes this cannot be done. Part of the second chapter is dedicated to such matrices. We state and describe the procedure for determining an elegant form of the matrix, which we call the Jordan form of the matrix. In the third chapter, we deal with determining the approximate location of the eigenvalues of linear operators when it’s more difficult to find them using the procedure described in the previous chapters. We define Geršgorin’s circles and state and prove Geršgorin’s theorem, which is also interpreted with concrete examples. Eigenvalues and eigenvectors are widely used in various physical fields such as quantum mechanics, where they are often used to describe wave functions and spin operators. Very often, eigenvectors describe some types of particle charges (in the physical sense). In the last, fourth chapter, we present an interesting application of eigenvalues on an Internet search engine. We are forming a ”little internet” where we show how the so-called PageRank algorithm works, which is the basis of the most famous internet search engine, Google. Accordingly, we construct a matrix that we call the Google matrix and describe its properties