Espaces de modules des faisceaux semistables

In this thesis we construct moduli spaces of semistable sheaves over a complex smooth projective variety $X$, endowed with a fixed polarization $sheaf{O}_X(1)$. Our approach is based on ideas of Le Potier and Jun Li, who independently constructed moduli spaces of slope-semistable torsion-free sheaves over (projective) surfaces. Their spaces are closely related, via the Kobayashi--Hitchin correspondence, to the so-called Donaldson--Uhlenbeck compactification in gauge theory. Here, however, we are mainly interested in the algebraical aspects of their work. In a restrictive sense, this thesis generalizes their construction to higher dimensional pure sheaves, whose support scheme might be singular.First we introduce a notion of stability for pure coherent sheaves of dimension $d$ on $X$, which lies between slope- and Gieseker-stability. This is defined with respect to the Hilbert polynomial of the sheaf, truncated down to a certain degree. We call it $ell$-(semi)stability, where $ell$ marks the level of truncation. In particular, this recovers the classical notion of slope-stability for $ell =1$ and of Gieseker-stability for $ell = d$.Our construction uses as main ingredient a restriction theorem for (semi)stability, saying that the restriction of an $ell$-semistable (or $ell$-stable) sheaf to a general divisor $D in |sheaf{O}_X(a)|$ of sufficiently large degree in $X$ is again $ell$-semistable (respectively $ell$-stable). In this regard, in Chapter~ef{ch:RestrictionTheorems} we prove several restriction theorems for pure sheaves (see Theorems~ef{thm:GiesekerRestriction}, ef{thm:restrictionStable} and ef{thm:ThmC}). The methods employed in the proofs permit us to give statements in arbitrary characteristic. Furthermore, our results generalize the restriction theorems of Mehta and Ramanathan for slope-(semi)stability, and they apply in particular to Gieseker-semistable sheaves. Before we give the construction, we take a short detour to generalize the classical Iitaka fibration to the equivariant setting. Given this, we construct projective moduli spaces of $ell$-semistable sheaves in higher dimensions as certain equivariant Iitaka fibrations (see Theorem~ef{thm:mainThm}). Our construction is new in the literature when $1 <ell < d$ or when $ell=1$ and $d < dim(X)$. In particular, in the case of slope-semistable torsion-free sheaves, we recover a result of Huybrechts--Lehn over surfaces and of Greb--Toma in higher dimensions. Finally, we describe in detail the geometric points of these moduli spaces (see Theorem~ef{thm:separation}). As an application, we show that in the torsion-free case they provide different compactifications of the open locus of slope-stable vector bundles. We can think of these spaces as intermediate compactifications between the Gieseker- and the Donaldson--Uhlenbeck compactification.Dans cette thèse nous construisons des espaces de modules de faisceaux semi-stables sur une variété projective complexe lisse $X$, dotée d'une polarisation fixée $sheaf{O}_X(1)$. Notre approche suit les idées de Le Potier et Jun Li, qui ont construit indépendamment des espaces de modules de faisceaux sans torsion, semi-stables par rapport à la pente sur des surfaces (projectives). Leurs espaces sont en relation, par la correspondance Kobayashi--Hitchin, avec la compactification de Donaldson--Uhlenbeck en théorie de jauge. Ici, cependant, nous sommes principalement intéressés par les aspects algébriques de leur travail. En particulier, cette thèse généralise leur construction au cas des faisceaux purs de dimension supérieure, dont le schéma de support peut être singulier.Nous introduisons d'abord une notion de stabilité pour les faisceaux cohérents purs de dimension $d$ sur $X$, qui se situe entre la stabilité par rapport à la pente et la stabilité de Gieseker. Cette notion est définie par rapport au polynôme de Hilbert du faisceau, tronqué jusqu'à un certain degré. Nous l'appelons $ell$-(semi)stabilité, où $ell$ marque le niveau de troncature. En particulier, on retrouve la notion classique de stabilité par rapport à la pente pour $ell = 1$ et de Gieseker-stabilité pour $ell = d$. Notre construction utilise comme ingrédient principal un théorème de restriction pour la (semi-)stabilité, disant que la restriction d'un faisceau $ell$-semistable (ou $ell$-stable) à un diviseur général $D in |sheaf{O}_X(a)|$ de degré suffisamment grand dans $X$ est à nouveau $ell$-semistable (respectivement $ell$-stable). À cet égard, dans le Chapitre 2, nous prouvons plusieurs théorèmes de restriction pour les faisceaux purs (voir les Théorèmes ef{thm:GiesekerRestriction}, ef{thm:restrictionStable} et ef{thm:ThmC}). Les méthodes utilisées dans la preuve nous permettent de donner des énoncés en caractéristique quelconque. De plus, nos résultats généralisent les théorèmes de restriction de Mehta et Ramanathan pour la (semi-)stabilité par rapport à la pente, et ils s'appliquent en particulier aux faisceaux Gieseker-semistables. Avant de donner la construction, nous faisons un bref détour pour généraliser la fibration d'Iitaka classique au cadre équivariant. Nous construisons alors des espaces de modules projectifs de faisceaux $ell$-semistables en dimensions supérieures, comme certaines fibrations d'Iitaka équivariantes (voir le Théorème~ef{thm:mainThm}). Notre construction est nouvelle dans la littérature lorsque $1 < ell < d$ ou lorsque $ell=1$ et $d < dim(X)$. En particulier, dans le cas des faisceaux sans torsion, nous récupérons un résultat de Huybrechts--Lehn sur les surfaces et de Greb--Toma en dimensions supérieures.Enfin, nous décrivons en détail les points géométriques de ces espaces de modules (voir le Théorème~ef{thm:separation}). Comme application, nous montrons que dans le cas sans torsion, ils fournissent des compactifications différentes sur le lieu ouvert des fibrés vectoriels stables par rapport à la pente. Nous pouvons considérer ces espaces comme des compactifications intermédiaires entre la compactification de Gieseker et la compactification de Donaldson--Uhlenbeck