Description des corrélations dans la dynamique des systèmes de fermions en interaction

The dynamics of a quantum system of interacting particles rapidly becomes impossible to describe exactly when the number of particles increases. This is one of the main difficulties in the description of atomic nuclei, which may contain several hundred of nucleons. A simplified approach to the problem is to assume that some degrees of freedom contain more information than others. A classical approximation is to focus on one-body degrees of freedom: the dynamics of the system can be approximately described by a set of particles propagating in an effective mean-field. While the mean-field approximation has allowed many advances in the theoretical understanding of the properties of nuclei, it is still unable to describe certain of their properties, for example the effects of direct collisions between nucleons or the quantum fluctuations of one-body observables. The objective of the thesis is to account for these correlations beyond the mean-field approximation in order to improve the dynamical description of quantum correlated systems. One component of the thesis has been to study methods to treat collisions between particles by including the Born term beyond the mean-field. This term is particularly complex because of non-local effects in time, the so-called non-Markovian effects. Possible simplifications of this term have been studied for future applications. Two simplifying approaches have been proposed, one allowing to treat the collision term with master equations, the other allowing to get rid of time integrals while keeping the non-locality in time. The second part of the thesis was devoted to the improvement of the mean-field approximation in order to describe the quantum fluctuations. Based on existing phase space methods, a new method, called "Hybrid Phase Space Method" (HPS) has been proposed. This method is a combination of the mean-field theory with initial fluctuations and a theory where the two-body degrees of freedom are propagated explicitly. This new approach has been successfully tested for the description of an ensemble of fermions on a lattice, i.e. the Fermi-Hubbard model, and has given much better results than the phase-space approaches previously used to describe correlated systems, in particular in a weak coupling case. If this new approximation gives interesting results, it remains numerically rather heavy and empirical. This led to a detailed study of the Wigner-Weyl and Bohm formalisms in order to explore phase-space methods in a more systematic way. The notion of trajectory in quantum mechanics has been systematically investigated. The conclusion of this study, where illustrations have been made on the tunneling effect, is that it is necessary that the trajectories interfere with each other in the course of time to reproduce the quantum effects.La dynamique d'un système quantique formée de particules en interaction devient rapidement impossible à décrire exactement lorsque le nombre de particules augmente. Ceci est une des principales difficultés dans la description des noyaux atomiques pouvant contenir plusieurs centaines de nucléons. Une approche simplifiée du problème consiste à supposer que certains degrés de liberté contiennent plus d'information que les autres. Une approximation classique est de se concentrer sur les degrés de liberté à un corps : la dynamique du système peut être approximativement décrite par un ensemble de particules se propageant dans un champ moyen effectif. Si l'approximation de champ moyen a permis de nombreuses avancées dans la compréhension théorique des propriétés des noyaux, il n'en reste pas moins qu'elle ne peut décrire un certain nombre de leurs propriétés, par exemple les effets des collisions directes entre les nucléons où les fluctuations quantiques des observables à un corps. L'objectif de la thèse est de rendre compte de ces corrélations au-delà de l'approximation de champ moyen afin d'améliorer la description dynamique des systèmes quantiques corrélés. Une composante de la thèse a été d'étudier les méthodes qui permettent de traiter les collisions entre les particules en incluant le terme de Born au-delà du champ moyen. Ce terme est particulièrement complexe à cause d'effets non-locaux en temps, effets dits non-markoviens. Des simplifications possibles de ce terme, en vue de futures applications, ont été étudiées. Deux approches simplificatrices ont été proposées, l'une permettant de traiter ce terme à l'aide d'équations maîtresses, l'autre en s'affranchissant des intégrales en temps. La seconde partie de la thèse a été consacrée à l'amélioration de l'approximation de champ moyen afin de décrire les fluctuations quantiques. En se basant sur des méthodes d'espace des phases existantes, une nouvelle méthode, appelée «Hybrid Phase Space Method» (HPS) a été proposée. Cette méthode est une combinaison entre la théorie de champ moyen avec fluctuations initiales et une théorie où les degrés de liberté à deux corps sont propagés explicitement. Cette nouvelle approche a été testée avec succès pour la description d'un ensemble de fermions sur réseau, i.e, le modèle de Fermi-Hubbard et a donné de bien meilleurs résultats que les approches d'espace des phases précédemment utilisées pour décrire les systèmes corrélés, notamment dans un cas de couplage faible. Si cette nouvelle approximation donne des résultats intéressants, elle reste cependant numériquement assez lourde et empirique. Cela a conduit à étudier en détail les formalismes de Wigner-Weyl et de Bohm afin d'explorer de manière plus systématique les méthodes d'espace des phases et amené à la notion de trajectoire en mécanique quantique. La conclusion de cette étude, dont les tests ont été effectués sur l'effet tunnel, est qu'il est nécessaire que les trajectoires interfèrent entre elles au cours du temps pour bien reproduire les effets quantiques