Méthode d’éléments finis C1 bicubique stabilisée pour la modélisation MHD non linéaire du plasma de tokamak

The tokamak is one of the promising systems developed to harness fusion energy. A tokamak is a toroidal chamber in which a hot plasma is magnetically confined. For tokamaks to function properly, it is desirable that the plasma remain in an equilibrium configuration. Confinement failures, called disruptions, are unavoidable and undesirable events of plasma instabilities occurring in tokamaks that can degrade the performance of a tokamak and severely damage the tokamak walls. In order to mitigate the adverse effects of disruptions, a massive amount of material is injected into the tokamak plasma. In addition to the experiments and observations carried out on operational tokamaks, the understanding and control of injection strategies often requires numerical simulations. Indeed, the dynamics of the plasma after the injection is accompanied by complex interactions that we can describe by the equations of magneto-hydrodynamics (MHD). It is therefore essential to develop robust and accurate numerical methods to perform numerical simulations and obtain a qualitative and quantitative assessment of the complex physical processes. The main objective of this thesis is to develop numerical strategies for the simulation of MHD instabilities in tokamak plasma. The full MHD model is used for the physical modeling that includes fast magnetosonic waves, which are absent in reduced MHD models. The developments are carried out within the framework of bi-cubic Bézier C1 finite element method (FEM). The plasma flows concerned are very often dominated by convection and therefore it is essential to take into account the effects of unresolved scales in the finite element formulation. In practice, the unresolved scales are taken into account both by a variational multiscale approach and by a shock capturing technique. Other ingredients used in the numerical approach include: the treatment of the polar grid singularity, the time integration by a second order Gears method for variable time steps. The proposed numerical model is validated against the reduced MHD model. Particular attention is paid to nonlinear MHD simulations with massive material injection in tokamak plasma. The full MHD equations are then extended to include the transport of neutrals and impurities in the plasma and the source terms to model the massive material injection. The resulting model is used to simulate the massive gas injection and the shattered pellet injection into a JET like plasma. Numerous nonlinear simulations are performed to demonstrate the ability of the developed numerical strategy to capture the complex dynamics of MHD instabilities in which thermal quench and magnetic field stochastization occur.Le tokamak est l’un des systèmes prometteurs mis au point pour exploiter l’énergie de fusion. Un tokamak est une chambre toroïdale dans laquelle un plasma chaud est confiné magnétiquement. Pour le bon fonctionnement des tokamaks, il est souhaitable que le plasma reste dans une configuration d’équilibre. Les ruptures de confinement, appelées disruptions, sont des événements inévitables et indésirables d’instabilités du plasma survenant dans les tokamaks qui peuvent dégrader les performances d’un tokamak et endommager gravement les parois du tokamak. Afin d’atténuer les effets néfastes des disruptions, une quantité massive de matière est injectée dans le plasma du tokamak. En plus des expériences et observations réalisées sur des tokamaks opérationnels, la compréhension et la maitrise des stratégies d’injection passent souvent par les simulations numériques. En effet, la dynamique du plasma après l’injection s’accompagne interactions complexes que nous pouvons décrire par les équations de la MagnétoHydroDynamique (MHD). Il est donc primordial de développer des méthodes numériques robustes et précises pour obtenir par la simulation numérique une évaluation qualitative et quantitative des processus physiques complexes qui sont en œuvre. L’objectif principal de cette thèse est de développer des stratégies numériques pour la simulation des instabilités MHD dans les plasmas de tokamaks, en y incluant les ondes acoustiques rapides absentes dans les modèles réduits. Les développements sont effectués dans le cadre des méthodes d’éléments finis (FEM) dans une base décrite par des fonctions de Bézier bi-cubique de régularité C1. Les écoulements concernés sont très souvent dominés par la convection, par conséquent il est indispensable de prendre en compte les effets des échelles non résolues dans la formulation éléments finis. En pratique, les échelles non résolues sont pris en compte à la fois par une approche multi-échelle variationnelle et par une technique de capture des chocs. D’autres ingrédients viennent compléter l’approche numérique : le traitement de la singularité des grilles polaires, l’intégration temporelle par une méthode de Gears du second ordre pour des pas de temps variables. Le modèle numérique proposé est validé par rapport aux stratégies basées sur des modèles de MHD réduite. Une attention particulière est accordée aux simulations MHD non linéaires avec injection massive de matière dans le plasma de tokamak. Les équations de la MHD sont ici étendues pour y inclure le transport des neutres et des impuretés dans le plasma ainsi que les termes de source pour modéliser l’injection massive de matière. Le modèle résultant est utilisé pour simuler l’injection massive de gaz et l’injection de pastilles brisées dans un plasma de type JET. De nombreuses simulations non linéaires sont réalisées et démontrent la capacité, de la stratégie numérique développée, à capturer la dynamique complexe d’instabilités MHD dans lesquels se développent l’étouffement thermique et la stochastisation du champ magnétique