Ймовірнісні моделі у неймовірнісних задачах

Хомченко, А. Н. Ймовірнісні моделі у неймовірнісних задачах = Probabilistic models and nonprobabilistic problems / А. Н. Хомченко, О. І. Литвиненко, І. О. Астіоненко // Вісн. ХНТУ. – Херсон : ХНТУ, 2019. – Вип. 2 (69), ч. 3. – С. 88–92.У теорії ймовірностей широко використовуються різноманітні математичні методи. Прикладів проникнення теорії ймовірностей в інші розділи математики небагато, вона неначе відокремлена від іншої математики напівнепроникною плівкою. Яскравим прикладом лишається метод Монте-Карло, який суттєво збагатив сучасну обчислювальну математику і проілюстрував тісний зв’язок між статистичною та геометричною ймовірностями. З 1982 року триває досить успішне використання конструктивних можливостей геометричної ймовірності в задачах лагранжевої та ермітової інтерполяції функцій, зокрема, фінітних функцій метода скінченних елементів. Пошуки прикладів проникнення теорії ймовірностей у класичні розділи вищої та прикладної математики є досить цікавою задачею. Результати таких пошуків наведені в даній роботі. Стаття ілюструє нетрадиційний підхід до розв’язання класичних задач аналітичної геометрії. Природним узагальненням і розширенням поняття класичної ймовірності на нескінченну множину точок є геометрична ймовірність, що обчислюється як відношення мір (довжин, площ, об’ємів) в одно-, дво - і тривимірних випадках. Ймовірність влучити в будь-яку частину області пропорційна мірі цієї частини (довжині, площі, об’єму) і не залежить від її розташування і форми. Наведено приклади використання геометричної ймовірності у якості засобу побудови рівнянь прямої на площині і у просторі, а також рівнянь площини. На основі ймовірнісної інтерпретації сконструйовано наступні моделі: рівняння прямої, що проходить через дві точки на площині і у просторі, рівняння прямої у відрізках, нормальне рівняння прямої, рівняння площини у відрізках, нормальне рівняння площини. Варто зауважити, що ймовірнісна інтерпретація здатна створити особливі умови для виникнення інших розділів математики. Дидактичними перевагами методу ймовірнісних інтерпретацій є наочність, зрозумілість, стислість та зручність.Probability theory is widely used in various mathematical methods. There are few examples of penetration of probability theory into other sections of mathematics. It seems to be separated from the other mathematics by semi-impermeable film. The striking example is Monte-Carlo method which has significantly enriched the computational mathematics and illustrated the close relationship between statistical and geometric probabilities. Since 1982 the constructive possibilities of geometric probability in the problems of Lagrangian and Hermitian interpolation of functions, in particular, of finite functions of the finite element method, continue to be successfully used. The search for examples of the penetration of probability theory into the classical sections of higher and applied mathematics is quite an interesting task. The results of such searches are given in this work. The article illustrates an non-traditional approach to solving the classical problems of analytical geometry. A natural generalization and extension of the concept of classical probability to an infinite set of points is a geometric probability, which is calculated as the ratio of measures (lengths, areas, volumes) in one-, two- and three-dimensional cases. The probability of hitting any part of the area is proportional to the extent of this part (length, area, volume) and does not depend on its location and shape. Examples of the use of geometric probability as a means of constructing the equations of the straight line on the plane and in space, as well as the equations of the plane are given. On the basis of probabilistic interpretation, the following models have been constructed: the equation of the straight line passing through two points on the plane and in space, intercept form of the equation of a straight line, the normal equation of the line, the equation of the plane in the segments, the normal equation of the plane. It is worth noting that probabilistic interpretation can create special conditions for the emergence of other sections of mathematics. The didactic advantages of the probabilistic interpretation method are visibility, clarity, brevity, and convenience.В теории вероятностей широко используются разнообразные математические методы. Примеров проникновения теории вероятностей в другие разделы математики немного, она как будто отделена от другой математики полупроницаемой пленкой. Ярким примером остается метод Монте-Карло, который значительно обогатил современную вычислительную математику и проиллюстрировал тесную связь между статистической и геометрической вероятностями. С 1982 года продолжается достаточно успешное использование конструктивных возможностей геометрической вероятности в задачах лагранжевой и эрмитовой интерполяции функций, в частности, финитных функций метода конечных элементов. Поиск примеров проникновения теории вероятностей в классические разделы высшей и прикладной математики является достаточно интересной задачей. Результаты таких поисков приведены в данной работе. Статья иллюстрирует нетрадиционный подход к решению классических задач аналитической геометрии. Естественным обобщением и расширением понятия классической вероятности на бесконечное множество точек является геометрическая вероятность, которая вычисляется как отношение мер (длин, площадей, объемов) в одно-, дву- і трехмерных случаях. Вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от её расположения и формы. Приведены примеры использования геометрической вероятности в качестве способа построения уравнений прямой на плоскости и в пространстве, а также уравнений плоскостей. На основании вероятностной интерпретации сконструированы следующие модели: уравнение прямой, которая проходит через две точки на плоскости и в пространстве, уравнение прямой в отрезках, нормальное уравнение прямой, уравнение плоскости в отрезках, нормальное уравнение плоскости. Следует отметить, что вероятностная интерпретация способна создать особые условия для возникновения других разделов математики. Дидактическими преимуществами метода вероятностных интерпретаций является наглядность, понятность, краткость и удобство