On the relation between homology and K-theory of étale groupoids

L'any 2016 H. Matui va conjecturar que els groups de teoria K de les C^*-àlgebres associades a grupoides étale efectius minimals, amb el conjunt de Cantor com a espai d'unitats, es podrien calcular com la suma directa infinita dels seus groups d'homologia. Tot i que E. Scarparo va trobar un contraexemple l'any 2020, l'estudi de la conjectura segueix sent rellevant. L'objectiu principal d'aquesta tesi és aprofundir en el coneixement d'aquesta conjectura aportant-ne alguns exemples i contraexemples i, el que és més important, desenvolupar noves tècniques per al càlcul dels invariants mencionats associats a grupoides. Les dues classes principals de grupoides implicades en el nostre treball són els grupoides de Deaconu-Renault i els groupoides autosimilarsEn 2016, H. Matui conjeturó que la teoría K de la C*-algebra asociada a un grupoide étale, minimal, effective y con el Cantor set como conjunto de unidades, podría ser calculada como la infinita suma directa de sus grupos de homología. Aunque E. Scarparo encontró un contraejemplo en 2020, el estudio sobre condiciones necesarias y suficientes para la conjetura mantiene relevancia. El objetivo principal de esta tesis es profundizar en el conocimiento de dicha conjetura, proporcionando ejemplos y contraejemplos a la misma y, sobre todo, proporcionando nuevas técnicas para el cálculo de los invariantes de los grupoides. Las dos familias principales de grupoides involucradas en nuestro trabajo son los grupoides Deaconu-Renault y los grupoides auto-similares.In 2016 H. Matui conjectured that the K-groups of the C*-algebra associated to an effective minimal étale groupoid, with a Cantor set as unit space, could be computed as the infinite direct sum of the homology groups of given groupoid. Although a counterexample was found by E. Scarparo in 2020, the study of sufficient and/or necessary conditions for the conjecture to hold remains relevant. The main goal of this thesis is to further deepen the knowledge of this conjecture, providing some examples and counterexamples for it and, more importantly, developing new techniques for the computation of groupoids invariants. The two main classes of groupoids involved in our work are Deaconu-Renault groupoids, and self-similar groupoid