Aggregating credences into a belief

This thesis proposes a new research topic of how we should aggregate multiple individual credences on logically connected issues into a collective binary belief: heterogeneous belief aggregation. We argue that heterogeneous belief aggregation is worth studying because there are many situations where credences and binary beliefs are more appropriate as inputs and outputs of aggregation procedures, respectively. The main problem is that it is vulnerable to a dilemma like the discursive dilemma or the lottery paradox: issue-wise independent procedures might not ensure deductive closure and consistency. Confronting this situation, we have two main questions: how to formulate and generalize the dilemma, and what kinds of aggregation procedures can avoid the dilemma and obtain rational collective beliefs. To answer the first question, we employ the axiomatic approach to deal with general aggregation procedures as in judgment aggregation and social choice theory. We investigate which kinds of individual and collective rationality requirements and which properties of aggregation procedures should be imposed on heterogeneous belief aggregation, and which of their combinations are impossible. We mainly assume deductive closure rather than completeness, in contrast with most of the judgment aggregation literature. Moreover, we address impossibility results without anonymity conditions, which cannot be considered in belief binarization. This leads to three kinds of impossibility results, and we also determine the sufficient and necessary agenda condition for each of the results. Furthermore, we analyze similarities and differences between our proofs and other related proofs and conclude that the problem of heterogeneous belief aggregation is not reducible to the other related problems. Moreover, we show that our methods can be applied to other similar impossibilities. For the second question, we explore specific heterogeneous belief aggregation procedures and their properties. There can be two kinds of heterogeneous belief aggregation procedures: collective belief binarization combined with a probabilistic opinion pooling method, and direct rules. As for collective belief binarization, belief binarization theories are applicable. To this end, we first analyze the existing threshold-based procedures, especially those that relax the Lockean thesis and preserve rationality. We categorize them as local-threshold rules - where thresholds depend on probability measures - and world-threshold rules - where thresholds are applied not to an issue but to a possible world. Their characteristics are captured by the property of local monotonicity and world monotonicity, respectively. We compare and relate these properties with other existing properties like being stable in the stability theory of belief and with new - to be introduced - properties. Whether some existing rational procedures, like the camera shutter rule, satisfy these properties is an interesting and philosophically important question. We provide geometrical characterizations of some of the properties to answer this question. Furthermore, we propose that convexity norms should be discussed in the context of belief binarization. We introduce various kinds of convexity norms and examine whether the relevant procedures satisfy them. What is more, we propose two novel kinds of belief binarization methods that preserve rationality but are not based on thresholds: distance-based binarization and epistemic-utility-based binarization. The first is a holistic one minimizing the distance from a given probability measure to the resulting binary belief. The second one is based on an accuracy norm minimizing expected inaccuracy. We devise novel ways to measure the required distances and inaccuracies. Moreover, we study distance minimization with Bregman divergence, utility maximization with strict proper scores, and their relationship. Direct heterogeneous belief aggregation rules will also be proposed and studied regarding threshold, distance and epistemic-utility. We provide a new classification and characterization of them. Furthermore, we investigate some norms that are especially relevant in social contexts, such as various unanimity norms and convexity norms interpreted in social contexts, and commutativity norms, which govern the relationship between direct rules and combinations of probabilistic opinion pooling and collective belief binarization. Putting all this together, we conclude that heterogeneous belief aggregation is an philosophically fruitful topic that deserves attention. Heterogeneous belief aggregation can be seen as a general framework, where not only heterogeneous belief aggregation but also probabilistic opinion pooling, judgment aggregation, and belief binarization are studied in connection to each other. First, studying heterogeneous belief aggregation is by itself interesting and cannot be reduced to other research fields: we can deal with different rationality norms in social contexts and address properties characteristic for heterogeneous belief aggregation. Moreover, it is not only the direct rules but also the different possible combinations of methods from different research areas that makes this whole endeavor to be more sum of its parts. Indeed, second, this framework bridges independently developed research areas: first, we can apply well-developed formal theories in formal epistemology like belief binarization theories and epistemic decision theories to the belief aggregation problem. Second, this framework enables us to add social contexts to belief binarization problems and epistemic decision theories, which can be extended to cover also social beliefs. Our theory of heterogeneous belief aggregation can be applied to the (collective) belief binarization problem and epistemic (collective) decision theory. In this way, the thesis fills, or at least narrows, the gap between individual epistemology and collective epistemology.Diese Dissertation schlägt ein neues Forschungsthema dahingehend vor, wie wir mehrere individuelle probabilistische Überzeugungen in Hinblick auf logisch zusammenhängende Propositionen zu einer kollektiven binären Überzeugung aggregieren sollten: heterogene Überzeugungsaggregation. Wir argumentieren, dass heterogene Überzeugungsaggregation eine Untersuchung wert ist, da es viele Situationen gibt, in denen probabilistische Überzeugungen und binäre Überzeugungen plausible und naheliegende Inputs bzw. Outputs von Aggregationsverfahren darstellen. Das Hauptproblem besteht darin, dass heterogene Überzeugungsaggregation anfällig für ein Dilemma wie das diskursive Dilemma oder das Lotterieparadox ist: Propositionsbezogene unabhängige Verfahren können möglicherweise keine deduktive Abgeschlossenheit und Konsistenz gewährleisten. Angesichts dieser Situation haben wir zwei Hauptfragen: Wie das Dilemma präzisiert und verallgemeinert werden könnte und welche Arten von Aggregationsverfahren das Dilemma vermeiden und rationale kollektive Überzeugungen erhalten können. Um die erste Frage zu beantworten, wenden wir den axiomatischen Ansatz an, um allgemeine Aggregationsverfahren wie in der Urteilsaggregation und der Theorie der sozialen Wahl behandeln zu können. Wir untersuchen, welche individuellen und kollektiven Rationalitätsanforderungen und welche Eigenschaften von Aggregationsverfahren der heterogenen Überzeugungsaggregation auferlegt werden sollten und welche ihrer Kombinationen unmöglich sind. Wir gehen hauptsächlich von deduktiver Abgeschlossenheit und nicht von Vollständigkeit aus, anders als in der meisten Literatur zur Urteilsaggregation. Darüber hinaus adressieren wir Unmöglichkeitsergebnisse ohne Anonymitätsbedingungen, die bei der Überzeugungsbinarisierung nicht berücksichtigt werden können. Dies führt zu drei Arten von Unmöglichkeitsergebnissen, und wir bestimmen die notwendige und hinreichende Agenda-Bedingung für jedes der Ergebnisse. Darüber hinaus analysieren wir Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen unseren Beweisen und anderen verwandten Beweisen und kommen zu dem Schluss, dass das Problem der heterogenen Überzeugungsaggregation nicht auf die anderen verwandten Probleme reduziert werden kann. Schließlich zeigen wir dass unsere Methoden auf andere ähnliche Unmöglichkeiten angewendet werden können. Für die zweite Frage untersuchen wir spezifische heterogene Aggregationsverfahren und deren Eigenschaften. Es gibt dabei zwei Arten von heterogenen Aggregationsverfahren: die kollektive Überzeugungsbinarisierung kombiniert mit einer probabilistischen Meinungspooling-Methode und die direkten Regeln. Was die kollektive Überzeugungsbinarisierung betrifft, so sind Theorien der Überzeugungsbinarisierung anwendbar. Dazu analysieren wir zunächst die bestehenden schwellenwertbasierten Verfahren, insbesondere solche, die die Lockesche These lockern und die Rationalität bewahren. Wir kategorisieren sie als lokale Schwellenwertregeln – wobei Schwellenwerte von Wahrscheinlichkeitsmassen abhängen – und Weltschwellenwertregeln – wobei Schwellenwerte nicht auf eine Proposition, sondern auf eine mögliche Welt angewendet werden. Die nämlichen Regeln können mittels der Eigenschaft der lokalen Monotonie bzw. der Weltmonotonie charakterisiert werden. Wir vergleichen und setzen diese Eigenschaften mit anderen bestehenden Eigenschaften wie Stabilität in der Stabilitätstheorie von Überzeugungen und mit neuen - noch einzuführenden - Eigenschaften in Beziehung. Ob einige bestehende rationale Verfahren, wie die Kamera-Shutter-Regel, diese Eigenschaften erfüllen, ist eine interessante und philosophisch wichtige Frage. Wir geben geometrische Charakterisierungen einiger der Eigenschaften an, um diese Frage zu beantworten. Darüber hinaus schlagen wir vor, Konvexitätsnormen im Kontext der Überzeugungsbinarisierung zu diskutieren. Wir führen verschiedene Arten von Konvexitätsnormen ein und untersuchen, ob diese nämlichen Verfahren diese erfüllen. Weiters schlagen wir zwei neue Arten von Überzeugungsbinarisierungsmethoden vor, die Rationalität bewahren, aber nicht auf Schwellenwerten basieren: Distanz-basierte Binarisierung und Epistemischer-Nutzen-basierte Binarisierung. Die erste ist eine holistische Methode, die den Abstand von einem gegebenen Wahrscheinlichkeitsmaß zu der resultierenden binären Überzeugung minimiert. Der zweite basiert auf einer Genauigkeitsnorm, die die erwartete Unrichtigkeit (inaccuracy) minimiert. Wir entwickeln neue Wege, um Distanz und Unrichtigkeit zu messen. Wir entwickeln neue Wege, um Distanz und Ungenauigkeit zu messen. Darüber hinaus untersuchen wir Distanzminimierung mit Bregman-Divergenz, Nutzenmaximierung mit strikten 'proper score' und deren Beziehung. Direkte heterogene Überzeugungsaggregationsregeln werden ebenfalls vorgeschlagen und hinsichtlich Schwellenwert, Distanz und epistemischer Nützlichkeit untersucht. Wir erstellen eine Klassifizierung und Charakterisierung dieser Regeln. Darüber hinaus untersuchen wir verschiedene, besonders in sozialen Kontexten relevante Normen, wie verschiedene Einstimmigkeits- und Konvexitätsnormen, die in sozialen Kontexten interpretiert werden, und Kommutativitätsnormen, die den Zusammenhang zwischen direkten Regeln und Kombinationen von probabilistischem Meinungspooling und kollektiver Überzeugungsbinarisierung aufzeigen. Zusammenfassend kommen wir zu dem Schluss, dass heterogene Überzeugungsaggregation ein philosophisch fruchtbares Thema darstellt, das Aufmerksamkeit verdient. Heterogene Überzeugungsaggregation kann als ein allgemeiner Rahmen angesehen werden, in dem nicht nur heterogene Überzeugungsaggregation, sondern auch pobabilistisches Meinungspooling, Urteilsaggregation und Überzeugungsbinarisierung gemeinsam untersucht werden können. Erstens ist die Untersuchung der heterogenen Überzeugungssaggregation an sich interessant und lässt sich nicht auf andere Forschungsfelder reduzieren: Wir können uns mit unterschiedlichen Rationalitätsnormen in sozialen Kontexten auseinandersetzen und Eigenschaften der heterogenen Überzeugungsaggregation charakterisieren. Darüber hinaus sind es nicht nur die direkten Regeln, sondern auch die verschiedenen möglichen Kombinationen von Methoden aus unterschiedlichen Forschungsgebieten, die diese Unternehmung zu mehr als bloß der Summe ihrer Teile werden lassen. In der Tat verbindet zweitens dieser Rahmen unabhängig entwickelte Forschungsbereiche: Einerseits können wir gut entwickelte formale Theorien der formalen Erkenntnistheorie wie Überzeugungsbinarisierungstheorien und epistemische Entscheidungstheorien auf das Überzeugungsaggregationsproblem anwenden. Andererseits ermöglicht uns dieser Rahmen, soziale Kontexte zu Überzeugungsbinarisierungsproblemen und epistemischen Entscheidungstheorien hinzuzufügen, die somit auf die Behandlung sozialer Überzeugungen ausgedehnt werden können. Unsere Theorie der heterogenen Überzeugungsaggregation kann auf das (kollektive) Überzeugungsbinarisierungsproblem und die epistemische (kollektive) Entscheidungstheorie angewendet werden. Auf diese Weise schließt diese Arbeit die Lücke zwischen individueller Erkenntnistheorie und kollektiver Erkenntnistheorie oder verkleinert dieselbe zumindest