Combinatoire Elliptique et Marches dans des Cônes

J'expose dans ce document de synthèse mes travaux postérieurs au doctorat.Deux grands thèmes prédominent dans ces travaux. Le premier concerne les processus aléatoires (à la fois marches aléatoires et mouvement Brownien) dans des cônes, sous des aspects différents et complémentaires. Les processus dans des cônes forment en effet une classe singulière d'objets, de par leur large applicabilité en théorie des probabilités (marches aléatoires non collisionnantes, marches aléatoires dans des chambres de Weyl, valeurs propres de matrices aléatoires, processus de Galton-Watson multitype, etc.) et en dehors (combinatoire, théorie des représentations, finance, biologie des populations). On retrouvera d'ailleurs ce caractère transverse dans les méthodes utilisées. Le deuxième grand thème est issu de la mécanique statistique 2-dimensionnelle, et concerne des modèles intégrables (modèles de dimères, modèle d'Ising ou encore arbres et forêts couvrants). Ils appartiennent à la classe des modèles dits exactement solubles, ouvrant ainsi la voie à des formules exactes remarquables. Les fonctions spéciales --- en particulier les fonctions elliptiques --- joueront tout au long du manuscrit un rôle de premier plan.Le Chapitre 1 est préliminaire aux Chapitres 2-7. Nous y présentons les modèles combinatoire et probabiliste des marches à petits pas dans un quart de plan, et rappelons certaines des propriétés clé des fonctions elliptiques.Dans le Chapitre 2 intitulé "Fonctions elliptiques et expressions explicites", nous formulons notre apport au modèle combinatoire des marches dans le quart de plan par le biais de la théorie des fonctions elliptiques. Nous obtenons une formule unifiée (c'est-à-dire, pour tous les ensembles de sauts) pour la série génératrice de comptage. Appliquée au modèle de Gessel, elle fournit la première preuve humaine de la conjecture de Gessel.Dans le Chapitre 3 nous nous intéressons au problème de la nature des séries génératrices de comptage: peut-on classifier les modèles selon la classe de leur série génératrice, au regard des catégories algébriques, D-finies, non D-finies, et dans ce dernier cas éventuellement différentiellement algébriques ?Le Chapitre 4 se propose d'étudier deux extensions naturelles du modèle des marches à petits pas dans le quart de plan: les sauts d'amplitude arbitrairement grande et les marches spatialement inhomogènes. Le Chapitre 5 porte sur les temps de sortie de cônes de processus aléatoires (marches aléatoires et mouvement Brownien). Nous les aborderons de multiples façons, par des approches analytique et probabiliste; nous ferons aussi un détour par l'établissement d'estimées fines dans la théorie des fluctuations de marches aléatoires en dimension 1.C'est le concept des fonctions discrètes harmoniques qui est abordé dans le Chapitre 6. Nous obtenons à la fois des résultats quantitatifs (unicité de la fonction harmonique si le drift est nul, à titre d'exemple) et qualitatifs (expressions explicites). Par ailleurs notre méthode permet de mettre en exergue des liens entre la série génératrice des fonctions harmoniques, certaines représentations conformes et la notion d'invariants de Tutte.Le Chapitre 7 est indépendant des Chapitres 2-6, à cela près qu'on y utilise tout autant les fonctions elliptiques. Nous introduisons une famille à un paramètre (dépendant du module elliptique) de Laplaciens massiques Z-invariants définis sur les graphes isoradiaux. Nous démontrons une formule explicite pour leur inverse, la fonction de Green massique, qui a la propriété remarquable de ne dépendre que de la géométrie locale du graphe. Nous expliquons les conséquences de ce résultat pour le modèle de mécanique statistique des forêts couvrantes enracinées, en particulier la preuve d'une transition de phase d'ordre 2 avec le modèle des arbres couvrants critiques sur les graphes isoradiaux.Nous commençons chaque chapitre par un encadré bleu présentant les publications qu'il résume, et parsemons le document d'encadrés verts, pour autant de projets futurs