Unique quasi-stationary distribution, with a possibly stabilizing extinction

International audienceWe establish sufficient conditions for exponential convergence to a unique quasi-stationary distribution in the total variation norm. These conditions also ensure the existence and exponential ergodicity of the Q-process, the process conditionned upon never being absorbed. The technique relies on a coupling procedure that is related to Harris recurrence (for Markov Chains). It applies to general continuous-time and continuous-space Markov processes. The main novelty is that we modulate each coupling step depending both on a final horizon of time (for survival) and on the initial distribution. By this way, we could notably include in the convergence a dependency on the initial condition. As an illustration, we consider a continuous-time birth-death process with catastrophes and a diffusion process describing a (localized) population adapting to its environment.Nous établissons des conditions suffisantes pour une convergence exponentielle vers une unique distribution quasi-stationnaire en norme de variation totale. Ces conditions assurent également l'existence et l'ergodicité exponentielle du Q-processus, le processus conditionné par le fait de ne jamais être absorbé. La technique repose sur une procédure de couplage qui est liée à la récurrence de Harris (pour les chaînes de Markov). Elle s'applique aux processus généraux de Markov à temps continu et à espace continu. La principale nouveauté est que nous ajustons chaque étape de couplage en fonction à la fois d'un horizon de temps final (pour la survie) et de la distribution initiale. De cette façon, nous pouvons notamment inclure dans la convergence une dépendance à la condition initiale. A titre d'illustration, nous considérons un processus de naissance-mort en temps continu avec catastrophes et un processus de diffusion décrivant une population (localisée) s'adaptant à son environnement