Structures géométriques et bords des espaces symétriques

Nous montrons des résultats de complétude et d’incomplétude de certaines variétés fermées portant une structure nil-affine plate, dite à rayons. Ces géométries à rayons apparaissent aux bords des espaces symétriques et dans des contextes variés comme la géométrie affine ou de contact. Nous montrons que les variétés incomplètes ont une développante qui revêt son image. Cela permet de montrer de nouveaux cas de la conjecture de Markus sur les variétés affines fermées à volume parallèle. Nous étudions ensuite les représentations du census de Falbel-Koseleff-Rouillier de groupes fondamentaux de 3-variétés dans le groupe des isométries du plan hyperbolique complexe. Nous proposons le calcul numérique de leurs ensembles limites et désignons ceux qui sont fractals et présentent donc expérimentalement la qualité d’être discret. Nous montrons que les représentations qui semble discrètes grâce à leur ensemble limite se factorisent la plupart du temps par un groupe d’un triangle hyperboliquecomplexe. Cela généralise un phénomène constaté par Deraux dans un cadre plus large et systématique.We show results on the completeness and incompleteness of some closed manifolds carrying a nil-affine flat structure, said with rays. Those ray geometries appear at the boundary of symmetric spaces and in various contexts as affine geometry or contact geometry. We show that incomplete manifolds have a developing map that covers its image. It allows to show new cases of the Markus conjecture on flat affine closed manifolds having parallel volume. We then study the representations of the census of Falbel-Koseleff-Rouillier of fundamental groups of 3-manifolds in the isometry group of the hyperbolic complex plane. We propose a numerical computation of their limit sets and isolate those that are fractal and thus have experimentally the quality of being a discrete representation. We show that representations that seem discrete often factorize through a complex hyperbolic triangle group. It generalizes a phenomenon first noted by Deraux in a larger and more systematic framework