De quelques modules de Galois sur les corps locaux

Let $p$ be a prime number and $\mathbf{k}$ a local field such that $\mathbf{k}$ contains a primitive $p$-th root of unity denoted $\xi_p$. Set $\mathbf{K}/\mathbf{k}$ a finite Galois $p$-extension. Let $G$ denote its Galois group. Our main goal is to study the $G$-module structure of $J(\mathbf{K})=\mathbf{K}^{\times}/\mathbf{K}^{\times p}$. To do so, we use the theory of modules of constant Jordan type and we also compute the cohomology groups of $G$ with coefficients in $J(\mathbf{K})$ under some hypothesis. Furthermore, when $\mathbf{K}/\mathbf{k}$ is the maximal $p$-elementary abelian extension, we take profit of our study in order to compute some invariants which were previously introduced for $p=2$.Soient $p$ un nombre premier et $\mathbf{k}$ un corps local contenant une racine primitive $p$-ième de l'unité notée $\xi_p$. Donnons-nous alors $\mathbf{K}/\mathbf{k}$ une $p$-extension galoisienne finie de groupe de Galois $G$. Notre objectif premier est d'étudier la structure de $G$-module de $J(\mathbf{K})=\mathbf{K}^{\times}/\mathbf{K}^{\times p}$. Pour ce faire, nous utilisons les outils donnés par la théorie des modules de type de Jordan constant mais nous calculons aussi les groupes de cohomologie avec des coefficients dans $J(\mathbf{K})$, sous certaines hypothèses. De surcroît, lorsque $\mathbf{K}/\mathbf{k}$ est l'extension $p$-élémentaire abélienne maximale, nous tirons profit de notre étude pour calculer quelques invariants pertinents précédemment introduits pour $p=2$