Estimates on the lower bound of the spectrum of Schrödinger operators on Riemannian manifolds

On étudie, sur les variétés riemanniennes connexe et complète, la généralisation d’une inégalité de trace, prouvée dans l’espace euclidien par Fefferman et Phong. Cette inégalité donne des conditions de positivités et des estimations du bas du spectre des opérateurs de Schrödinger dont le potentiel admet une norme de Morrey bornée. On prouve tout d’abord que cette inégalité est satisfaite sur les variétés riemanniennes vérifiant l’hypothèse de doublement du volume et l’inégalité de Poincaré L1, telles que les variétés à courbure de Ricci positive. Dans un second temps, on montre qu’il suffit en fait que la variété admette une inégalité de Faber Krahn relative. On prouve également une version locale de l’inégalité, qui est vérifiée sur les variétés qui admettent une inégalité de Faber Krahn relative seulement sur des petites boules, telles que les variétés à Ricci minoré. Finalement, on établit une inégalité semblable sur les sommes connexe de variétés satisfaisant au hypothèses précédente. On en déduit aussi des conditions suffisantes pour qu’une variété admette une inégalité de Hardy L2.We study, on complete connected Riemannian manifolds, the generalization of a trace inequality, proved first in the Euclidean spaces by Fefferman and Phong. This inequality yields positivity condition and estimates on the lower bound of the spectrum of Schrödinger operators with the potential having a bounded Morrey norm. We first prove that this inequality is satisfied on manifolds which satisfy to the volume doubling condition and the L1 Poincaré inequality, such as manifolds with non-negative Ricci curvature. We show next that it is sufficient for the manifold to admits a relative Faber Krahn inequality. We also show a local version of the inequality, that holds on manifolds that admits a relative Faber Krahn inequality on small balls uniquely, such as those with semi-bounded Ricci curvature. Finally we establish a similar inequality on the connected sums of manifolds satisfying to the previous hypothesis. We also deduce sufficient condition suc