Semiparametric M-estimators and their applications to multiple change-point problems

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement aux modèles semiparamétriques qui ont reçu beaucoup d’intérêt par leur excellente utilité scientifique et leur complexité théorique intrigante. Dans la première partie, nous considérons le problème de l’estimation d’un paramètre dans un espace θ de Banach, en maximisant une fonction critère qui dépend d’un paramètre de nuisance inconnu h, éventuellement de dimension infinie. Nous montrons que le bootstrap m out of n, dans ce cadre général, est consistant sous des conditions similaires à celles requises pour la convergence faible des M-estimateurs non-réguliers. Dans ce cadre délicat, des techniques avancées seront nécessaires pour faire face aux estimateurs du paramètre de nuisance à l’intérieur des fonctions critères non régulières. Nous étudions ensuite le bootstrap échangeable pour les Z-estimateurs. L’ingrédient principal est l’utilisation originale d’une identité différentielle qui s’applique lorsque la fonction critère aléatoire est linéaire en termes de mesure empirique. Un grand nombre de schémas de rééchantillonnage bootstrap apparaissent comme des cas particuliers de notre étude. Des exemples d’applications de la littérature sont présentes pour illustrer la généralité et l’utilité de nos résultats. La deuxième partie est consacrée aux modèles statistiques semiparamétriques de ruptures multiples. L’objectif principal de cette partie est d’étudier les propriétés asymptotiques des M-estimateurs semiparamétriques avec des fonctions critères non lisses des paramètres d’un modèle de rupture multiples pour une classe générale de modèles dans lesquels la forme de la distribution peut changer de segment en segment et dans lesquels, éventuellement, il y a des paramètres communs à tous les segments. La consistance des M-estimateurs semi-paramétriques des points de rupture est établie et la vitesse de convergence est déterminée. La normalité asymptotique des M-estimateurs semiparamétriques des paramètres est établie sous des conditions générales. Nous étendons enfin notre étude au cadre des données censurées. Nous étudions les performances de nos méthodologies pour des petits échantillons à travers des études de simulations.In this dissertation we are concerned with semiparametric models. These models have success and impact in mathematical statistics due to their excellent scientific utility and intriguing theoretical complexity. In the first part of the thesis, we consider the problem of the estimation of a parameter θ, in Banach spaces, maximizing some criterion function which depends on an unknown nuisance parameter h, possibly infinite-dimensional. We show that the m out of n bootstrap, in a general setting, is weakly consistent under conditions similar to those required for weak convergence of the non smooth M-estimators. In this framework, delicate mathematical derivations will be required to cope with estimators of the nuisance parameters inside non-smooth criterion functions. We then investigate an exchangeable weighted bootstrap for function-valued estimators defined as a zero point of a function-valued random criterion function. The main ingredient is the use of a differential identity that applies when the random criterion function is linear in terms of the empirical measure. A large number of bootstrap resampling schemes emerge as special cases of our settings. Examples of applications from the literature are given to illustrate the generality and the usefulness of our results. The second part of the thesis is devoted to the statistical models with multiple change-points. The main purpose of this part is to investigate the asymptotic properties of semiparametric M-estimators with non-smooth criterion functions of the parameters of multiple change-points model for a general class of models in which the form of the distribution can change from segment to segment and in which, possibly, there are parameters that are common to all segments. Consistency of the semiparametric M-estimators of the change-points is established and the rate of convergence is determined. The asymptotic normality of the semiparametric M-estimators of the parameters of the within-segment distributions is established under quite general conditions. We finally extend our study to the censored data framework. We investigate the performance of our methodologies for small samples through simulation studies