Statistical study of functional principal component analysis in uni and multivariate frameworks

Ce travail est la concaténation de deux parties, ayant pour point comment de porter sur l'analyse de données fonctionnelle et en particulier de s'intéresser aux questions liées à la grande dimension dans ce contexte. La première partie concerne l'analyse en composante principale fonctionnelle dans le cas univarié. Notre approche vise à donner des résultats non-asymptotiques pour différents estimateurs de projection des éléments propres d'un opérateur de covariance. Nous définissons d'abord un estimateur basé sur un opérateur de projection. Cet opérateur peut être vu comme une étape de reconstruction des données brutes dans le contexte de l'analyse des données fonctionnelles. Nous montrons que l'estimateur naïf, qui calcule les éléments propres sans régularisation après l'étape de projection, est optimal au sens minimax pour un bon choix de base. À cette fin, nous établissons à la fois une limite inférieure et supérieure sur l'erreur quadratique moyenne de reconstruction des éléments propres. Nous prouvons également des résultats généraux pour les bases générales de Lipschitz et de Daubechies qui n'atteignent pas les vitesses minimax. Dans le cas de Daubechies, un seuillage est nécessaire pour atteindre son taux optimal. Cette partie est conclue par des simulations numériques qui confirment l'acuité de l'approche et une application à des données génomique. La seconde partie concerne la généralisation du modèle au cas fonctionnelle multivarié. Comme en première partie notre approche vise à donner des résultats non-asymptotiques pour l'estimation de la première composante principale d'un processus aléatoire multivarié. Nous définissons d'abord la fonction de covariance et l'opérateur de covariance dans le cas multivarié. On définit alors un opérateur de projection. Cet opérateur peut être vu comme une étape de reconstruction à partir des données brutes dans le contexte d'analyse de données fonctionnelles. Ensuite, nous montrons que les éléments propres peuvent être exprimés comme la solution d'un problème d'optimisation, et nous introduisons la variante LASSO de ce problème d'optimisation et l'estimateur de plugin associé. Enfin, nous évaluons la précision de l'estimateur. Nous établissons une borne inférieure minimax sur l'erreur quadratique moyenne de reconstruction de l'élément propre, ce qui prouve que la procédure a une variance optimale au sens minimax.This work is the concatenation of two parts, having for point how to relate to the analysis of functional data and in particular to be interested in the questions related to the high dimension in this context. The first part concerns functional principal component analysis in the univariate case. Our approach aims to give non-asymptotic results for different projection estimators of the eigenelements of a covariance operator. We first define an estimator based on a projection operator. This operator can be seen as a raw data reconstruction step in the context of functional data analysis. We show that the naive estimator, which computes the eigen elements without regularization after the projection step, is optimal in the minimax sense for a good basis choice. To this end, we set both a lower and an upper bound on the root mean square error of eigenelement reconstruction. We also prove general results for general Lipschitz and Daubechies bases which do not achieve minimax rates. In the case of Daubechies, thresholding is necessary to reach its optimal level. This part is concluded by numerical simulations which confirm the acuity of the approach and an application to genomic data. The second part concerns the generalization of the model to the multivariate functional case. As in the first part, our approach aims to give non-asymptotic results for the estimation of the first principal component of a multivariate random process. We first define the covariance function and the covariance operator in the multivariate case. We then define a projection operator. This operator can be seen as a reconstruction step from raw data in the context of functional data analysis. Next, we show that eigen-elements can be expressed as the solution of an optimization problem, and we introduce the LASSO variant of this optimization problem and the associated plugin estimator. Finally, we evaluate the precision of the estimator. We establish a minimax lower bound on the mean square error of reconstruction of the proper element, which proves that the procedure has an optimal variance in the minimax sens